

注：常有人误写为 CPA，标准名称为 PCA（Principal Component Analysis）主成分分析。

”

一、什么是主成分分析

主成分分析（PCA）是一种经典的无监督降维算法，核心目标是在尽可能保留原始数据信息的前提下，把高维、存在多重共线性的多个变量，转换成少数几个互不相关的新综合变量，这些新变量就叫做主成分。

在数据分析场景中，经常会遇到指标过多、变量之间高度相关的问题：比如用户画像同时收集收入、消费频次、客单价、访问时长、互动次数等十几个指标，指标之间信息重叠，既不利于可视化，也容易造成回归模型多重共线性、运算缓慢。PCA 通过正交变换，重构一组新坐标轴，优先把数据方差最大的方向作为第一主成分，依次提取剩余方差，实现精简变量。

PCA 的适用场景：

1. 指标浓缩，构建综合评分（满意度得分、客户健康度、产品质量综合指数）
2. 高维数据可视化，把几十维数据降到 2 维/3 维绘图
3. 消除变量多重共线性，作为建模前的数据预处理步骤
4. 数据降噪，剔除方差极低、信息很少的成分
5. 特征筛选，为机器学习模型精简输入特征

不适合场景：PCA 是线性降维，无法捕捉变量之间的非线性关系；同时 PCA 不区分自变量和因变量，属于无监督方法，不能保证提取出来的主成分和业务目标相关。

二、PCA 完整分析流程

步骤 1：业务理解与原始数据准备

首先明确分析目标，筛选进入模型的变量。PCA 只能处理数值型连续变量，分类变量、文本标签不能直接放入；如果是有序分类变量，需要先合理编码。

数据清洗要点：

• 剔除异常值：PCA 对极端异常值非常敏感，异常点会严重改变方差方向，影响主成分提取结果；
• 处理缺失值：缺失样本建议删除，或者使用均值、中位数、KNN 填充，缺失过多的指标直接剔除；
• 区分样本与变量：行 = 样本，列 = 指标。



业务示例：膳食调研数据，指标包括能量、蛋白质、脂肪、碳水、钠、钙、铁等营养指标，每一行是一位受访者。

”

步骤 2：数据标准化（重中之重）

原始变量量纲往往不一样，例如收入单位是元、年龄单位是岁、得分是 0~10 分。方差会被数值量级大的变量主导，直接计算会导致结果失真。

必须做 Z-score 标准化：

标准化之后所有变量均值 = 0，标准差 = 1，消除量纲影响。

⚠️ 特例：如果所有指标本身量纲、取值范围完全一致，可以不标准化，但绝大多数业务数据分析都需要标准化。

步骤 3：相关性检验，判断是否适合 PCA

PCA 的底层逻辑就是利用变量之间的相关性提取公共信息，如果变量之间几乎互不相关，PCA 没有意义。常用两个检验：

1. KMO 检验：取值 0~1

   • KMO > 0.7：适合做主成分分析
   • 0.6 ≤ KMO < 0.7：尚可
   • KMO < 0.6：不建议 PCA，变量相关性不足

2. 巴特利特球形检验（Bartlett）

   • 原假设：变量的相关矩阵是单位矩阵（变量互相独立）
   • 若 p 值 < 0.05，拒绝原假设，说明变量存在相关性，适合 PCA



注意：KMO 和巴特利特只是参考，不是硬性门槛，部分调研数据 KMO 偏低，业务上仍可尝试降维，但结果解释难度会上升。

”

步骤 4：计算相关矩阵、特征值与特征向量

标准化后，计算变量的相关系数矩阵 R；对矩阵求解得到一组特征值 λ和对应的特征向量。

• 特征值 λ：代表这个主成分能够携带的信息量大小；λ 越大，信息越多；
• 特征向量：主成分的系数，用来把原始变量线性组合成新的主成分。

主成分计算公式：

F₁ 第一主成分，解释能力最强；F₂ 第二主成分，和 F₁ 正交（不相关），解释剩余最大方差，以此类推。

步骤 5：确定保留主成分数量

两个主流判断标准，搭配使用：

1. 特征值大于 1 准则（Kaiser 准则）：λ > 1，保留；λ < 1，该主成分信息量还不如单个原始变量，舍弃；
2. 方差累计贡献率：优先选择累计贡献率达到 70%~80% 的前 N 个主成分，行业最常用阈值 75%；
3. 碎石图（Scree Plot）可视化：横轴主成分序号，纵轴特征值，找到曲线明显拐点，拐点之前保留。



没有绝对唯一标准：偏学术论文多用 λ > 1；业务建模优先看累计贡献率，兼顾结果能不能解释。

”

步骤 6：主成分命名与结果解释（最难的环节）

提取出主成分之后，看成分载荷（相关系数）：载荷代表原始变量和该主成分的相关程度。

• 载荷绝对值 > 0.7：强相关，是这个主成分的核心代表指标；
• 载荷 0.4~0.7：中等关联；
• 载荷 < 0.4：关联弱，对这个主成分贡献很小。

根据高载荷的指标集合，给主成分赋予业务含义。

示例：

• F₁ 在蛋白质、脂肪、能量上载荷很高 → 命名为"总热量摄入因子"
• F₂ 在钙、铁上载荷很高 → 命名为"矿物质摄入因子"

⚠️ 常见痛点：有时候载荷分散在多个指标，主成分含义模糊、不好解释，这是 PCA 天然缺陷，此时可以考虑因子分析（旋转）替代。PCA 本身不做因子旋转。

步骤 7：计算样本主成分得分

利用主成分线性公式，代入每个样本标准化后的数据，算出每个样本在 F₁、F₂……上的得分。

得分可以直接用于后续分析：

• 排序：按 F₁ 得分排序，筛选高分/低分样本；
• 分组：作为聚类、回归、分类模型的输入特征；
• 合成综合指标：以各主成分方差贡献率为权重，加权得到一个综合总分。

综合得分示例公式：

步骤 8：结果验证、报告撰写与复盘

输出内容清单：

• KMO、巴特利特检验结果；
• 特征值、单个方差贡献率、累计贡献率表；
• 碎石图；
• 成分载荷矩阵；
• 样本得分表；
• 业务解读、局限性说明。

PCA 局限必须写明：

1. 主成分是原始变量的线性混合，物理含义经常模糊；
2. 对异常值、离群点敏感；
3. 只能捕捉线性相关；
4. 降维会丢失一部分信息，贡献率越低，丢失信息越多。

三、PCA 与因子分析的区别（高频混淆点）

很多人把 PCA 和探索性因子分析 EFA 混为一谈：

• PCA：降维工具，目标压缩信息，不假设存在隐藏潜变量，不做旋转；
• EFA：潜变量挖掘工具，假设指标由不可观测的公共因子驱动，支持因子旋转，更适合问卷量表维度划分。

问卷量表维度划分优先选因子分析；单纯指标压缩、可视化、预处理优先 PCA。

四、实操工具说明

1. Excel：可以借助数据分析插件 + 协方差矩阵手动计算，繁琐，只适合教学；
2. SPSS：菜单化操作，一键输出 KMO、碎石图、载荷表，问卷调研最常用；
3. Python（sklearn）：PCA() 函数，注意 sklearn 的 PCA 默认不输出载荷矩阵，需要手动换算；
4. R 语言：psych 包、FactoMineR 包，PCA 可视化功能强大；
5. Power BI / Tableau：一般不原生做 PCA，通常在 Python/R 算好得分后导入可视化。

五、常见误区汇总

1. 不标准化直接跑 PCA，量纲大的指标垄断结果；
2. 只看 p 值、KMO，不看业务逻辑，强行解读没有实际意义的主成分；
3. 认为主成分贡献率越高，代表这个成分越"重要"（重要是业务定义，方差大 ≠ 业务价值高）；
4. 把 PCA 主成分直接当成问卷维度使用；
5. 样本量过少做 PCA：样本数量建议至少是变量数 5~10 倍以上，结果才稳定。

六、小结

主成分分析整套流程是：业务定义 → 数据清洗 → 标准化 → 相关性适配检验 → 求解特征值与特征向量 → 确定主成分数量 → 业务命名解释 → 计算样本得分 → 落地应用与局限性说明。

PCA 的优势是简单高效、消除多重共线性；短板集中在结果解释性弱、仅支持线性关系。它不是万能分析手段，降维之前必须结合业务判断，不能盲目套用。

推荐学习书籍 《CDA一级教材》适合CDA一级考生备考，也适合业务及数据分析岗位的从业者提升自我。完整电子版已上线CDA网校，累计已有10万+在读~ !

免费加入阅读：https://edu.cda.cn/goods/show/3151?targetId=5147&preview=0