人工神经网络（ANN），简称神经网络，是一种模仿生物神经网络的结构和功能的数学模型或计算模型。神经网络由大量的人工神经元联结进行计算。大多数情况下人工神经网络能在外界信息的基础上改变内部结构，是一种自适应系统。现代神经网络是一种非线性统计性数据建模工具，常用来对输入和输出间复杂的关系进行建模，或用来探索数据的模式。
人工神经网络从以下四个方面去模拟人的智能行为:
物理结构：人工神经元将模拟生物神经元的功能
计算模拟：人脑的神经元有局部计算和存储的功能，通过连接构成一个系统。人工神经网络中也有大量有局部处理能力的神经元，也能够将信息进行大规模并行处理
存储与操作：人脑和人工神经网络都是通过神经元的连接强度来实现记忆存储功能，同时为概括、类比、推广提供有力的支持
训练：同人脑一样，人工神经网络将根据自己的结构特性，使用不同的训练、学习过程，自动从实践中获得相关知识
神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或称“神经元”，或“单元”）和之间相互联接构成。每个节点代表一种特定的输出函数，称为激励函数。每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重，这相当于人工神经网络的记忆。网络的输出则依网络的连接方式，权重值和激励函数的不同而不同。而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达。
感知器相当于神经网络的一个单层，由一个线性组合器和一个二值阈值原件构成：
构成ANN系统的单层感知器：
感知器以一个实数值向量作为输入，计算这些输入的线性组合，如果结果大于某个阈值，就输出1，否则输出‐1。
感知器函数可写为：sign（w*x）有时可加入偏置b，写为sign（w*x b）
学习一个感知器意味着选择权w0,…,wn的值。所以感知器学习要考虑的候选假设空间H就是所有可能的实数值权向量的集合
算法训练步骤：
1、定义变量与参数x（输入向量）,w（权值向量）,b（偏置）,y（实际输出）,d（期望输出）,a（学习率参数）
2、初始化，n=0,w=0
3、输入训练样本，对每个训练样本指定其期望输出：A类记为1，B类记为-1
4、计算实际输出y=sign(w*x b)
5、更新权值向量w(n 1)=w(n) a[d-y(n)]*x(n),0<a<1
6、判断，若满足收敛条件，算法结束，否则返回3
注意，其中学习率a为了权值的稳定性不应过大，为了体现误差对权值的修正不应过小，说到底，这是个经验问题。
从前面的叙述来看，感知器对于线性可分的例子是一定收敛的，对于不可分问题，它没法实现正确分类。这里与我们前面讲到的支持向量机的想法十分的相近，只是确定分类直线的办法有所不同。可以这么说，对于线性可分的例子，支持向量机找到了“最优的”那条分类直线，而单层感知器找到了一条可行的直线。
我们以鸢尾花数据集为例，由于单层感知器是一个二分类器，所以我们将鸢尾花数据也分为两类，“setosa”与“versicolor”（将后两类均看做第2类），那么数据按照特征：花瓣长度与宽度做分类。
运行下面的代码：
#感知器训练结果：
a<-0.2
w<-rep(0,3)
iris1<-t(as.matrix(iris[,3:4]))
d<-c(rep(0,50),rep(1,100))
e<-rep(0,150)
p<-rbind(rep(1,150),iris1)
max<-100000
eps<-rep(0,100000)
i<-0
repeat{
v<-w%*%p;
y<-ifelse(sign(v)>=0,1,0);
e<-d-y;
eps[i 1]<-sum(abs(e))/length(e)
if(eps[i 1]<0.01){
print("finish:");
print(w);
break;
}
w<-w a*(d-y)%*%t(p);
i<-i 1;
if(i>max){
print("max time loop");
print(eps[i])
print(y);
break;
}
}
#绘图程序
plot(Petal.Length~Petal.Width,xlim=c(0,3),ylim=c(0,8),
data=iris[iris$Species=="virginica",])
data1<-iris[iris$Species=="versicolor",]
points(data1$Petal.Width,data1$Petal.Length,col=2)
data2<-iris[iris$Species=="setosa",]
points(data2$Petal.Width,data2$Petal.Length,col=3)
x<-seq(0,3,0.01)
y<-x*(-w[2]/w[3])-w[1]/w[3]
lines(x,y,col=4)
#绘制每次迭代的平均绝对误差
plot(1:i,eps[1:i],type="o")
分类结果如图：
这是运行了7次得到的结果。与我们前面的支持向量机相比，显然神经网络的单层感知器分类不是那么的可信，有些弱。
我们可以尝试来做交叉验证，可以发现交叉验证结果并不理想。
尽管当训练样例线性可分时，感知器法则可以成功地找到一个权向量，但如果样例不是线性可分时它将不能收敛。因此，人们设计了另一个训练法则来克服这个不足，称为delta法则。
如果训练样本不是线性可分的，那么delta法则会收敛到目标概念的最佳近似。
delta法则的关键思想是使用梯度下降来搜索可能权向量的假设空间，以找到最佳拟合训练样例的权向量。
我们将算法描述如下：
1、定义变量与参数。x（输入向量）,w（权值向量）,b（偏置）,y（实际输出）,d（期望输出）,a（学习率参数）（为叙述简便，我们可以将偏置并入权值向量中）
2、初始化w=0
3、输入样本，计算实际输出与误差。e(n)=d-x*w(n)
4、调整权值向量w(n 1)=w(n) a*x*e(n)
5、判断是否收敛，收敛结束，否则返回3
Hayjin证明，只要学习率a<2/maxeign, delta法则按方差收敛。其中maxeigen为x’x的最大特征值。故我们这里使用1/maxeign作为a的值。
我们还是以上面的鸢尾花数据为例来说这个问题。运行代码：
p<-rbind(rep(1,150),iris1)
d<-c(rep(0,50),rep(1,100))
w<-rep(0,3)
a<-1/max(eigen(t(p)%*%p)$values)
max<-1000
e<-rep(0,150)
eps<-rep(0,1000)
i<-0
for(i in 1:max){
v<-w%*%p;
y<-v;
e<-d-y;
eps[i 1]<-sum(e^2)/length(e)
w<-w a*(d-y)%*%t(p);
if(i==max)
print(w)
}
得到分类直线：
相比感知器分类而言已经好了太多了，究其原因不外乎传递函数由二值阈值函数变为了线性函数，这也就是我们前面提到的delta法则会收敛到目标概念的最佳近似。增量法则渐近收敛到最小误差假设，可能需要无限的时间，但无论训练样例是否线性可分都会收敛。
为了明了这一点我们考虑鸢尾花数据后两类花的分类（这里我们将前两类看做一类），使用感知器：
使用线性分类器：
但是要解释的一点是，收敛并不意味着分类效果更好，要解决线性不可分问题需要的是添加非线性输入或者增加神经元。我们以Minsky & Papert (1969)提出的异或例子为例说明这一点。
使用线性神经网络，代码与上面完全相同，略。
第一个神经元输出：
权值： [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.75 0.5 -0.5
测试： [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 1 1
第二个神经元输出：
权值： [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.75 -0.5 0.5
测试： [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 0 1
求解异或逻辑（相同取0，不同取1）有结果：（代码xor(c(1,0,1,1),c(1,1,0,1))）
[1] FALSE TRUE TRUE FALSE
即0，1，1，0，分类正确。
最后再说一点，Delta规则只能训练单层网络，但这不会对其功能造成很大的影响。从理论上说，多层神经网络并不比单层神经网络更强大，他们具有同样的能力。
回顾我们前面提到的感知器，它使用示性函数作为分类的办法。然而示性函数作为分类器它的跳点让人觉得很难处理，幸好sigmoid函数y=1/(1 e^-x)有类似的性质，且有着光滑性这一优良性质。我们通过下图可以看见sigmoid函数的图像：
Sigmoid函数有着计算代价不高，易于理解与实现的优点但也有着欠拟合，分类精度不高的特性，我们在支持向量机一章中就可以看到sigmoid函数差劲的分类结果。
BP (Back Propagation)神经网络，即误差反传误差反向传播算法的学习过程，由信息的正向传播和误差的反向传播两个过程组成。由下图可知，BP神经网络是一个三层的网络:
输入层(input layer)：输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；
隐藏层(Hidden Layer):中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程；
输出层(Output Layer):顾名思义，输出层向外界输出信息处理结果
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