
IBM SPSS Modeler算法系列--决策树CHAID算法
谈到算法,大家都觉得挺神秘的,对没有学过统计学相关知识的朋友来说,太多的数学公式没法理解,很多书籍介绍的也比较表象,看得云里雾里的,那么今天,我们将尝试给大家介绍SPSS Modeler里面所涵盖的一些算法内容,既不那么地表象,也不那么地难以理解。
我们首先从决策树算法开始,先介绍CHAID算法, 它是由Kass在1975年提出的,全称是Chi-squaredAutomatic Interaction Detector,可以翻译为卡方自动交叉检验,从名称可以看出,它的核心是卡方检验,那么我们先来了解下什么是卡方检验。
卡方检验只针对分类变量,它是统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度,实际观测值与理论推断值之间的偏离程度就决定卡方值的大小,卡方值越大,偏离程度越大;卡方值越小,偏差越小,若两个值完全相等时,卡方值就为0,表明理论值完全符合。
在CHAID算法中,我们可以结合下面这个例子来理解卡方检验上面这段话。
这个例子中,我们要分析的目标是女性考虑结婚与不结婚的问题(0表示不结婚,1表示结婚),那么影响结婚不结婚的因素有很多,比如男方有没有房子,男方收入水平, 幸福指数等等。那么我们先来看看到底是否有房对是否结婚是否有影响。
首先,我们对数据做下统计:
我们先假设是否有房与结婚没有关系,那么四个格子应该是括号里的数(理论值),这和实际值(括号外的数)是有差距的,理论和实际的差距说明原假设不成立。
那么这个差距怎么来评判呢?我们就用到卡方的计算公式:
K方的计算公式可以这么描述, 这四个格子里,每个格子的(实际值-理论值)^2/理论值,即K^2 ==(282-212)^2/212+(102-162) ^2/162+(142-212) ^2/212+(222-162) ^2/162=90.6708,然后我们再去查卡方表,可以看到,自由度为1,显著性水平为0.05的卡方临界值为3.84。计算得到的卡方值大于3.84,也就是说,原假设成立的概率小于0.05,即5%,所以我们拒绝原假设,可以得到是否有房对结婚是有影响的。从卡方的计算方法中,可以看到卡方越大,实际值与理论值差异越大,两者没有关系的原假设就越不成立。
那么以上就是对卡方检验在分析两者关系的介绍。
接下来我们回到CHAID算法,我们在IBM SPSS Modeler构建这个模型,得到的决策树结果如下(部分截图):
很多人看到这个图的时候,一般会有两个疑惑,第一个,影响的第一个最重要的因素是年收入,那么年收入区间的划分为什么是 [<=6.000]、[6.000,13.000]……这个以6.0、13.0等为临界划分点,是预先设定好的吗?当然不是,这是CHAID这个算法的计算逻辑决定的。第二个疑惑是,为什么会以年收入作为第一个分割点,而不是其它呢?
我们先来看第一个问题,划分的临界点是怎么确定的,这个问题,其实是该算法中,对数据预处理的部分。 需要注意的是, 卡方检验只针对分类变量,而CHAID算法,是支持数值变量和分类变量的,所以,首先算法的第一步,就是对输入变量做预处理,分两种情况,输入变量是数值型或者是分类型,先来介绍输入变量是数值型的情况,比如我们例子中的年收入就是数值型的,那么,需要先将其离散化成为字符型,也就是划分区间,这里采用的是ChiMerge分组法,这个接下来会结合这个例子的年收入指标来介绍下这个分组法。
Step1:对年收入值从小到大进行排序1、2、3、4…….
Step2:定义若干初始区间,使输入变量的每个变量值均单独落入一个区间内,像这里的收入都是整数,所以会以1作为组限,分为[1]、[2]、[3]、[4]……等各个区间;
Step3:计算每个切分好的年收入值的频次,得到输入变量与输出变量的交叉分组频数表。
Step4:计算两两相临组的卡方值。根据显著性水平和自由度得到卡方临界值。如果卡方值小于临界值,说明输入变量在该相邻区间上的划分,对输出变量取值没有显著影响,可以合并;
这里的Step3和Step4,我们这么来理解,输入变量是年收入,我们已经把它划分为[1]、[2]……,那么在下面这个表中,我们先计算了年收入第一位和第二位分别为1和2的人数(即Step3中的频次计算),得到下面这个交叉表:
然后开始计算卡方值,卡方值的计算公式为: K^2 = n (ad - bc) ^ 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] 其中a、b、c、d分别对应的值如下图:(其中n=a+b+c+d为样本容量)。
因此计算得到的卡方值=(10+3+3+4)*(10*4-3*3)^2/[(10+3)(3+4)(10+3)(3+4)]=2.321
细心的朋友可能会发现,这个计算公式跟我们上面计算的公式写法有点不一样,其实是经过公式变形的,上面是为了更好地理解卡方的含义,下面这个公式是变形后,比较好记的公式。
这个时候,我们查看卡方表如下图:
可以看到,自由度为1,显著性水平为0.05的卡方临界值为3.84,我们计算得到的卡方2.321小于3.84,说明年收入为1或者2,对结婚或者不结婚没有显著影响,因此可以合并,所以会将收入为[1]、[2]合并为[1,2];接下来计算[3]、[4]的卡方,依次类推。
PS:这里选择的显著性水平为0.05是可以自己设置更改的,在SPSS Modeler的CHAID算法中可以自己设置,如下图位置:
Step5:重复Step3至Step4,直到任何两个相临组无法合并,即卡方值都不小于临界值为止。
那么如果输入变量是分类型的,与上面的数值型对比,就少了一次对数值离散化的过程,直接对分类变量中的元素进行卡方检验及合并,最终形成“超类”,直至输入变量的“超类”无法再合并为止。对于顺序型分类输入变量,只能合并相邻的类别。
对数据完成预处理之后,就要选择根节点,也就是计算输出变量(是否结婚)与输入变量相关性检验的统计量的概率P-值,即卡方值对应的P-值,P-值越小,说明输入变量与输出变量的关系越紧密,应当作为当前最佳分组变量。当P-值相同时,应该选择检验统计量观测值最大的输入变量,也就是卡方最大的输入变量。
在上面的决策树图中,我们可以看到,每个指标都有计算好的卡方值和P-值,从分析结果中,也可以验证上面所说的,P-值越小,越在树的顶端,P-值相同时,卡方越大,越在树的顶端。
到这里,就解答了一开始查看决策树时候的两个疑惑。
我们这个例子里面呢,目标变量是否结婚,是分类型的变量,那么,如果目标变量是数值型的呢?那么在第一步的数据预处理的时候,把采用的卡方值计算改为方差计算,在第二步选择最佳分割点的时候,使用的是方差分析计算得到F统计量的P-值,而不是卡方的P-值。
这里以Income这个连续变量作为输出变量(即目标)为例,得到的决策树,对应的值就是P值以及F统计量,如下图:
针对这个算法,有以下几个特点总结下:
样本数据必须足够大,要求样本含量应大于40且每个格子中的理论频数不应小于5。当样本含量大于40但有1=<理论频数<5时,卡方值需要校正,当样本含量小于40或理论频数小于1时只能用确切概率法计算概率。
目标变量可以是分类型,也可以是数值型;
输入变量可以是分类型,也可以是数值型。
在IBM SPSS Modeler里面,针对 CHAID算法,以上介绍的内容是大概的计算框架,里面其实还开放出了许多参数可以影响这个树的生长,比如不用Pearson 卡方,而是似然比卡方;使用交互树生长模型来影响树的生长;中止树生长的规则等等。
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