讨论：因子分析非正定矩阵是怎么回事儿

在最近的工作中需要用spss做因子分析，但是在具体操作过程中遇到了头疼的“非正定矩阵的问题”，困扰了很久。看了论 坛上很多网友的讨论和解决办法，加上自己的一些摸索，也最终找到了问题的原因和解决办法，现在写出来与大家分享，希望对有同样困扰的朋友一些启示，当然其 中一定有不对的地方，欢迎大家一起讨论。

一、案例介绍

某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况，变量35个，样本31个（全国31个省），希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。

二、问题描述

通过spss的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”，无法给出KMO值，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。

三、疑问

（1）什么是正定矩阵？

（2）因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？

（3）非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？

（4）如何修正使得变成正定矩阵？

四、解决办法

通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点：

（1）样本量太少，而指标过多。

（2）某些变量间相关性太强。

而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量。

但是在我的这个例子里面无法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且相关系数在0.9以上。

但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删 除哪些变量？按照我的情况估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。

为了找出具体是哪些变量导致问题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现spss没有再提示“非正定矩阵”而是正常的输出了KMO检验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，当发现添加某个变量spss提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让spss认为“非正定矩阵”的原因：一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。

找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图：

上图的截图是“解释的总方差”显示所有变量的相关系数矩阵的所有特征值，大家可以看到在用红色方框标注的5个特征值，他们的数值的数量级都是10的负16次方、17次方、18次方，甚至出现了负值，几乎可以认为就是零了，远远小于其他特征值，根据之前的逐一测试法确认，这5个特征值是与之前发现的那5个变量是对应的，我想这就应该是为什么是这5个变量导致出现非正定矩阵的原因吧。

那进一步思考，特征值过小或者为负值说明了什么呢，根据正定矩阵的判定，正定矩阵的充分必要条件是：特征值>0,所有出现负的特征值就肯定会出现“非正定矩阵”的原因，但就靠这点似乎还不够，因为有些特征值是大于0的，只是非常非常小而已。我推测（仅仅是我推测），因为我们在做主成分分析的时候，每个主成分的方差就等于对于特征值，特征值太小意味着主成分的方差太小，方差太小意味着包含变量的 信息量太少，而我们在做因子分析时往往也是用主成分法来抽取公因子，所以特征值太小可能也无法满足正定矩阵的条件，当然这是我的推测。

五、总结

根据整个过程，我总结了一下几点：

（1）出现非正定矩阵的情况，并不一定都是样本太少（本例中样本才31，变量有35个）。

（2）剔除变量的时候，可以利用逐一淘汰法来发现问题变量，再考虑是否要删除。

（3）非正定矩阵似乎对因子分析结果并无太多影响，因为我们往往只抽取了部分公因子（累计方差贡献率>85%），特征值过小意味着方差贡献率也会很小，往往不会被选作公因子，所以对结果影响不大，这也是为什么spss仅仅是提示，仍然会输出因子分析结果的原因。 

好了，这个是我工作中碰到的一个实际例子，之前一直困扰了我很久，现在写出来与大家分享，希望能对有同样问题的朋友一个启发，当然里面一定有不对的地方，希望大家多多指正。