数据科学中的陷阱：变量的数学运算合理吗

数据科学中有各种各样的模型，有的听起来很简单，比如线性回归;有点呢，听起来就很吓人，比如深度学习。但是不管什么样的模型，从本质上来讲，模型都是对训练数据做数学运算，并以此求得模型参数的估计值。
所以我们需要保证两点：

第一，训练数据能进行数学运算;

第二，对变量所做的数学运算是合理的。

对于第一点，通常只在一些特定的应用场景里才需要比较复杂的处理，比如自然语言处理、图像识别等。

但对于第二点，几乎所有的场景都会遇到。

这里将注重研究第二点“对变量所做的数学运算是合理的”，它表示的内涵是：对于变量，数字的运算有相应的实际意义，包括以下两个方面：

• 数字的大小关系。

• 数字的四则运算。

为了更好地讨论问题，将模型的自变量分类。正如前面章节所提到的，在模型里使用的变量可以分为两类：数值型变量和类别型变量。如图1所示。

图1

数值型变量，在学术上也被称为定量变量(quantitative variable)，如长度、收入、重量等。它们的数值表示具体的测量或计数。事实上，定量变量按是否连续可进一步细分为连续型变量和离散型变量。在一定区间内可以任意取值的变量叫连续型变量，比如人的身高、体重等;反之则是离散型变量，比如公司员工人数等。对于这类变量，数字间的不等关系是有实际意义的。比如对于收入，在数学上，100小于1000;在实际生活中，100元也小于1000元。数字间的四则运算也同理，这里就不赘述了。当然由于数字的等于关系和四则运算，数值型变量常常隐含着边际效应恒定的假设，正如我们在第5章里讨论的那样。在某些场景下，这个隐含假设与现实不符，直接使用变量会影响模型的效果。

类别型变量，也被称为定性变量(categorical variable)。它并不是表示数量上的变化，而是表示类别。比如性别、省份、学历、产品等级等。这类变量的取值通常是用文字而非数字来表示。比如对于性别这个变量，可能的取值为男、女。因此要将文字变量转换为数字变量，并且保证对于转换之后的变量，数学运算是有意义的，这并不是一件容易的事情。通常针对一个类别型变量，我们会用一个数字去表示其中的一个类别，但这样的转换方法并不能满足要求：

对于有序的类别型变量，比如产品等级，0表示合格、1表示良好、2表示优秀。这种情况下，0小于1的确对应着合格等级次于良好等级，但数字间的四则运算就没有对应意义了。数学上2减1等于1，但对于产品等级，优秀减去良好还等于良好吗?

对于无序的类别型变量，比如对于省份，0表示北京、1表示上海、2表示深圳等。数字间的大小关系和四则运算都是没有实际意义的。

因此，在模型里直接使用类别型变量是没有任何道理的，也会严重影响模型的效果。由此可见，不管是数值型变量还是类别型变量，通常都需要根据问题场景做相应变换后，再放到模型中使用。