常见的几种矩阵分解方式

1.三角分解(LU分解)

矩阵的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵与上三角矩阵的乘积。本质上，LU分解是高斯消元的一种表达方式。首先，对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵。对于学习过线性代数的同学来说，这个过程应该很熟悉，线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后，将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程，对应的变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间的过程，就是Doolittle algorithm(杜尔里特算法)。

转一个Tony Ma同学写的例子：
若AX=b是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。若主轴上没有0值，则无需交互行，因此只需进行第3类初等行变换（把第 i 行加上第 j 的 k 倍）即可完成此变换。例如

第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵image实现，对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。注意最右边是一个下三角矩阵L

从而有G3G2G1A=U

，即A=G−11G−12G−13U。因此A=LU

，为一个下三角与一个上三角矩阵的乘积，因此称为LU分解。
注意:
1）U是高斯消元的结果，且对角线上是主元
2）L对角线上是1，对角线下面的元素image恰恰是在式1中用于消去（i,j）位置上元素的乘子。

LU分解常用来求解线性方程组，求逆矩阵或者计算行列式。例如在计算行列式的时候，A=LU

，det(A)=det(L)det(U)

。而对于三角矩阵来说，行列式的值即为对角线上元素的乘积。所以如果对矩阵进行三角分解以后再求行列式，就会变得非常容易。

在线性代数中已经证明，如果方阵A

是非奇异的，即A

的行列式不为0，LU分解总是存在的。

2.QR分解

QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解：

这其中，Q

为正交矩阵，QTQ=I

，R为上三角矩阵。
实际中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题。

3.Jordan分解

每次看到Jordan分解，就想起当年考研的那段时光。控制原理里面，就有大段关于Jordan分解的内容。可惜当时矩阵分析没有学到位，线性代数里头又没有提到Jordan分解，所以理解起来那个费劲。
废话这么多，先来看看Jordan到底是个什么鬼：
我们将下面的k×k

阶方阵

称为Jordan块。同时，我们也将由若干个Jordan块组成的对角矩阵成为Jordan阵。
由Jordan块的定义不难看出，Jordan 阵与对角阵的差别仅在于它的上 (下)对角线的元素是0或1。因此，它是特殊的上三角阵。

为什么要进行Jordan分解呢？或者说，Jordan分解能解决什么问题呢？
我们先来复习一下，如果一个n阶方阵A

可以对角化，那么A至少满足下列条件的一个：
1.A有n个线性无关的特征向量。
2.A的所有特征值的几何重数等于相应的代数重数，即qi=pi。
3.A

的极小多项式经标准分解后，每一项都是一次项，且重数都是1。

因为有的矩阵不可以进行对角化，那么我们可以对它进行Jordan分解，达到简化计算的目的。