问：

矩阵的秩和矩阵的迹是一个意思吗？

答：

这两个是不同的名词，其解释如下：

矩阵的迹

数学定义：n×n矩阵A的对角线元素之和称为A的迹（trace），记作tr(A)，即有：

tr(A)=a11+...+ann=∑ni=1aiitr(A)=a11+...+ann=∑i=1naii

矩阵的迹有如下重要性质：

tr(UV)=tr(VU)tr(UV)=tr(VU)

根据以上性质，若分别令U=A，V=BC和U=AB，V=C，则有：

tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)

请思考： tr(ABC)=tr(CBA)tr(ABC)=tr(CBA) ?

类似地，若分别令U=A，V=BCD，U=AB，V=CD，及U=ABC，V=D，则有：

tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDBA)=tr(DABC)

矩阵的秩

矩阵Am×nAm×n的秩定义为该矩阵中线性无关的行数和列数。

秩的性质：

• 秩是一个正整数。

• 秩等于或小于矩阵的行数和列数。

• 当n×n矩阵A的秩等于n时，则称A是非奇异矩阵，或称A满秩。

• 若rank(Am×n)<min{m,n}rank(Am×n)<min{m,n}，则称A是秩亏缺的。

• 若rank(Am×n)=m（<n）rank(Am×n)=m（<n）,则称矩阵A具有满行秩。

• 若rank(Am×n)=n（<m）rank(Am×n)=n（<m）,则称矩阵A具有满列秩。

• 任何矩阵A左乘满列秩矩阵或者右乘满行秩矩阵后，矩阵A的秩保持不变。

原文链接：https://blog.csdn.net/quintind/article/details/78452471