矩阵特征值与特征向量在机器学习算法中经常会用到,每次出现都有着其独特的意义,如果不能深入理解特征值和特征向量两个概念,对我们机器学习的实际应用会有很大影响。小编今天整理了特征值和特征向量的概念计算以及几何意义,希望对大家机器学习有所帮助。
设A是n阶方阵,如果存在常数及非零n向量x,使得,则称是矩阵A的特征值,x是A属于特征值的特征向量。给定n阶矩阵A,行列式
的结果是关于的一个多项式,成为矩阵A的特征多项式,该特征多项式构成的方程称为矩阵A的特征方程。
定理:n阶矩阵A的n个特征值就是其特征方程的n个跟;而A的属于特征值的特征向量就是其次线性方程的非零解。
我们先记线性变换一个T(Transformation)为,容易知道矩阵代表一个线性变换,可以做升维降维,放大缩小以及旋转的线性变换,而对于方阵而言,是不存在升维降维的。即一个方阵其对向量的线性变换为伸长收缩或者旋转。
在为基向量的空间下有个向量:
对随便左乘一个矩阵,即对进行一个线性变换。
调整下的方向,使其特殊一点。
可以观察到,调整后的和在同一直线上,只是的长度相对的长度变长了。
此时,我们就称是的特征向量,而的长度是的长度的倍,就是特征值。
即
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