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特征值和特征向量的详细计算及几何意义
2020-07-08
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矩阵特征值与特征向量在机器学习算法中经常会用到,每次出现都有着其独特的意义,如果不能深入理解特征值和特征向量两个概念,对我们机器学习的实际应用会有很大影响。小编今天整理了特征值和特征向量的概念计算以及几何意义,希望对大家机器学习有所帮助。

一、特征值和特征向量的概念和计算

An阶方阵,如果存在常数及非零n向量x,使得,则称是矩阵A特征值,xA属于特征特征向量。给定n阶矩阵A,行列式

的结果是关于的一个多项式,成为矩阵A的特征多项式,该特征多项式构成的方程称为矩阵A的特征方程。

 

  定理:n阶矩阵A的n个特征值就是其特征方程的n个跟;而A的属于特征特征向量就是其次线性方程的非零解。


二、特征值和特征向量的几何意义

我们先记线性变换一个T(Transformation)为T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2,容易知道矩阵A代表一个线性变换,可以做升维降维,放大缩小以及旋转的线性变换,而对于方阵A而言,是不存在升维降维的。即一个方阵A其对向量\vec{v}的线性变换为伸长收缩或者旋转。

T(\vec{v}) = A\vec{v}

\vec{i},\vec{j}为基向量的空间下有个向量\vec{v}:

\vec{v}随便左乘一个矩阵A,即对\vec{v}进行一个线性变换。

调整下\vec{v}的方向,使其特殊一点。

可以观察到,调整后的\vec{v}A\vec{v}在同一直线上,只是A\vec{v}的长度相对\vec{v}的长度变长了。

此时,我们就称\vec{v}A特征向量,而A\vec{v}的长度是\vec{v}的长度的\lambda倍,\lambda就是特征值。

即    T(\vec{v}) = A\vec{v} = \lambda \vec{v}

 

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