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数字信号处理中均值、方差、均方值、均方差计算和它们的物理意义
2018-03-06
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数字信号处理中均值、方差、均方值、均方差计算和它们的物理意义

1 均值

均值表示信号中直流分量的大小，用E(x)表示。对于高斯白噪声信号而言，它的均值为0，所以它只有交流分量。

2 均值的平方

均值的平方，用{E(x)}^2表示，它表示的是信号中直流分量的功率。

3 均方值

均方值表示信号平方后的均值，用E(x^2)表示。均方值表示信号的平均功率。信号的平均功率 = 信号交流分量功率 + 信号直流分量功率

例如：x、y、z 3项求均方值。均方值=（x的平方+y的平方+z的平方）/3
4 均方根值

均方根值，用RMS（root mean square）,既均方值的开根号         

      

5 均方差

均方差（mean square error），用MSE表示。均方差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近。均方差有时候被认为等同于方差

        

6 均方根误差       

均方根误差用RMSE（root mean square error）表示。它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替.方根误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，均方根误差能够很好地反映出测量的精密度。均方根误差有时候被认为是标准差

6 方差

方差用variance或deviation 或Var表示。 方差描述信号的波动范围，表示信号中交流分量的强弱，即交流信号的平均功率。

注意上面除以的是n-1，只有这样由样本值估计出的方差才是无偏的，即上面式子的期望才是X的方差。但是有的地方也有用除以n来表示方差，只不过这样求出的结果不是方差的无偏估计，计算结果的数学期望并不是X的方差，而是X方差的倍。

7 标准差

标准差（Standard Deviation）用σ表示，有的时候标准差又可以被称为均方根误差RMSE。 标准差是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示，标准差能反映一个数据集的离散程度。

标准差σ， 反映了测量数据偏离真实值的程度，σ越小，表示测量精度越高，因此可用σ作为评定这一测量过程精度的标准。

有了方差为什么要使用标准差？标准差比方差有什么优势？

因为方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2 。

总结：

（1）总的来说，均方差，均方根误差和方差，标准差是不能够等同的，尽管它们的公式相似。我们需要从真实值和均值之间的关系来区分它们

（2）对于方差和标准差而言，它们反映的是数据序列与均值的关系。

（3）对于均方差和均方根误差而言，它们反映的是数据序列与真实值之间的关系。


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