【机器学习】梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数的含义

想必单独论及“ 梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数”等四个基本概念的时候，绝大部分人都能够很容易地谈个一二三，基本没有问题。

其实在应用的时候，这几个概念经常被混淆，本文试图把这几个概念之间的关系整理一下，以便应用之时得心应手。

这四个概念中，Hessian矩阵是最不容易混淆，但却是很多人难以记住的概念，其它三个概念很容易记住，但却在某些时候很容易混淆。

Hessian矩阵：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,..., xn)，Hessian矩阵M定义为：M的第i行,第j列元素为df(X)/dxidxj, 即为f(X)对于变量xi和xj的二次偏导数。

梯度：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,..., xn)，函数f(X)在点X0处的梯度是一个向量，等于（df(X0)/dx1, df(X0)/dx2, ...., df(X0)/dxn), 即是对于各个变量的偏导数的向量。例子：如果方程是z=f(x,y)，梯度是在XOY平面内的一个向量，与z无关。因此要特别注意梯度不是点(X，f(X))处的切线方向。

平面方程的法线：设平面方程Ax+By+Cz+D = 0，向量（A, B, C)为这个平面的法线方向。

函数导数：二维直线的方程y= kx+b，我们说k是直线的斜率；二维曲线y=f(x)的导数f '(x)表示在点x处的切线的斜率，注意是切线的斜率，不是切线的方向，它是标量，不是向量。任意曲线y=f(x1,x2,...xn)，对每一个变量求取偏导数，得到一个向量（df(X)/dx1, df(X)/dx2, ...., df(X)/dxn)，这个向量就是函数在点X处的梯度，即梯度是表示曲线f(X)在X处变化最剧烈的方向，特别注意梯度并不是在点(X, f(X))处的切线方向, 梯度只是在点(X, f(X))处的切线方向在X构成的“平面”上的投影。注意，对于二维直线y=kx+b，它也是可以求取梯度的，它的梯度是向量（k），只有一个值，表示的是x方向上的向量，大小是x方向上的单位变化导致y变化量的大小，即就是切线的斜率。