一、基本概念

1.线性回归的出现

当被解释变量和解释变量都为连续型，且存在线性关系时，可以采用线性回归对被解释变量进行预测。

多元线性回归的出现是非常自然的，由于在一元线性回归中，因变量只能依赖一个自变量来解释，换一句话说，就是我们 只能在一维空间中来解释世界，这是十分糟糕的，毕竟事物之间的关联是非常复杂的，只用其中一个变量来解释，总是显 得那么苍白和无力。

下面我们就来以“房价”和“客户价值”为因变量，探索一下影响他们的自变量。首先，影响房价的因素有哪些呢？

因此，我们不难发现，在用更多变量来解释因变量，显然会更加全面、丰富、合理和科学。与一元线性回归类似，一个含

有k个自变量的多元线性回归模型可以表示为：

y= Bo+Bixl+B2x2++bx+8

,β，B1,B,,为模型参数，E为误差项，来解释不能被自变量线性关系解释的部分。

二、基本假设

多元线性回归的基本假设

三、检验方法

1.线性关系假设——线性关系检验

2.线性关系检验——回归系数检验

3.期望为0的假设

（1）假设检验方法：（图形法）可以直接绘制散点图，查看残差是否对称分布在0的两侧；（统计检验）可以用假设检验 中的t检验方法，其原假设为H0：E=0，具体操作将在案例中展示。

（2）假设失效的影响：如果残差的期望不等于0，而等于其他的某个常数，那么这个常数就应该出现在多元线性回归的常 数项内。

（3）假设失效解决方法：如果失效，考虑是否强制将常数项设置为，或考虑异常值问题。

4.同方差假设

假设检验方法：（图形法）对残差以及因变量的拟合值作图。

如果没有异方差，那么残差和因变量拟合值构成的散点应该是完全 随机的，其趋势线应该是几乎是水平的。上图中间的趋势线存在弯 曲，即存在一定的异方差。

除了作图，我们也可以选择Breusch－Pagan检验，注意该检验的原假设是同方差，备择假设是异方差，这 样读者根据输出的P值就可以直观判断了。

假设失效的影响：如果误差是异方差的，那么OLS估计的标准误差将不可靠。

假设失效解决方法：克服异方差性的影响，我们可以尝试对因变量做一些非线性变换，如等等。

5.正态性假设

假设检验方法：（图形法）做QQ图。

QQ图的解读十分简单，如果散点在直线上或者直线附近，那么我 们就可以认为数据是正态分布的，否则就任务不是正态分布。 对于正态分布的统计检验，我们可以选择KS检验（Kolmogorov– Smirnov test），其原假设：数据是正态分布的。这样读者可以直 接根据输出的P值来对检验结果进行分析。

假设失效的影响：如果误差项不是正态分布的，则OLS估计的标准误差将不可靠。然而对于正态性假设对于线性回归的 重要性，目前各方还有一些有价值的观点。

假设失效解决方法：关注样本中两端的异常值是否合理，如异常值不合理，可以考虑删除异常值。也可以尝试对变量做 非线性变换。

6.横截面和时间序列数据在回归建模上的差异

横截面是指在同一时间平面上的数据，例如2013年各个上市公司的财报数据，如果研究其不同变量之间的线性关系，可 以用多元线性回归模型。但是如果数据包含时间趋势，例如2001-2018年全国各个省市的宏观经济指标数据，如果要研 究不同宏观指标之间的线性影响，就要用面板回归模型了（计量模型的一种）。

四、参数估计

1.多元线性回归的参数估计

五、判定系数

六、例题精讲

1. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为y=60+90x，下列判断正确的是（ ）？

A. 劳动生产率为1000元时，工资为50元

B. 劳动生产率提高1000元时，工资提高150元

C. 劳动生产率提高1000元时，工资提高90元

D. 劳动生产率为1000元时，工资为90元

答案：C 解析：根据回归直线方程 y=60+90x 得到，劳动生产率为1千元时，工人月工资=60+90*1=150元，劳动生产率提高1千元 时，工资提高90元。

2. 以下哪个假设不是线性回归分析的前提假设？ A. 解释变量之间必须严格独立

B. 解释变量之间不能强线性相关

C. 扰动项独立同分布

D. 扰动项服从正态分布

答案：A 解析：回归分析的前提假设中，包含解释变量之间非线性相关、扰动项独立同分布，扰动项服从正态分布。

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