LDA(Latent Dirichlet Allocation)主题模型算法

LDA整体流程

先定义一些字母的含义：

文档集合D，topic集合T

D中每个文档d看作一个单词序列< w1,w2,...,wn >，wi表示第i个单词，设d有n个单词。（LDA里面称之为word bag，实际上每个单词的出现位置对LDA算法无影响）

D中涉及的所有不同单词组成一个大集合VOCABULARY（简称VOC）

LDA以文档集合D作为输入（会有切词，去停用词，取词干等常见的预处理，略去不表），希望训练出的两个结果向量（设聚成k个Topic，VOC中共包含m个词）：

对每个D中的文档d，对应到不同topic的概率θd < pt1,..., ptk >，其中，pti表示d对应T中第i个topic的概率。计算方法是直观的，pti=nti/n，其中nti表示d中对应第i个topic的词的数目，n是d中所有词的总数。

对每个T中的topic t，生成不同单词的概率φt < pw1,..., pwm >，其中，pwi表示t生成VOC中第i个单词的概率。计算方法同样很直观，pwi=Nwi/N，其中Nwi表示对应到topic t的VOC中第i个单词的数目，N表示所有对应到topic t的单词总数。

LDA的核心公式如下：

p(w|d) = p(w|t)*p(t|d)

直观的看这个公式，就是以Topic作为中间层，可以通过当前的θd和φt给出了文档d中出现单词w的概率。其中p(t|d)利用θd计算得到，p(w|t)利用φt计算得到。
实际上，利用当前的θd和φt，我们可以为一个文档中的一个单词计算它对应任意一个Topic时的p(w|d)，然后根据这些结果来更新这个词应该对应的topic。然后，如果这个更新改变了这个单词所对应的Topic，就会反过来影响θd和φt。 LDA学习过程

LDA算法开始时，先随机地给θd和φt赋值（对所有的d和t）。然后上述过程不断重复，最终收敛到的结果就是LDA的输出。再详细说一下这个迭代的学习过程：
1）针对一个特定的文档ds中的第i单词wi，如果令该单词对应的topic为tj，可以把上述公式改写为：
pj(wi|ds) = p(wi|tj)*p(tj|ds)
先不管这个值怎么计算（可以先理解成直接从θds和φtj中取对应的项。实际没这么简单，但对理解整个LDA流程没什么影响，后文再说）。
2）现在我们可以枚举T中的topic，得到所有的pj(wi|ds)，其中j取值1~k。然后可以根据这些概率值结果为ds中的第i个单词wi选择一个topic。最简单的想法是取令pj(wi|ds)最大的tj（注意，这个式子里只有j是变量），即
argmax[j]pj(wi|ds)
当然这只是一种方法（好像还不怎么常用），实际上这里怎么选择t在学术界有很多方法，我还没有好好去研究。
3）然后，如果ds中的第i个单词wi在这里选择了一个与原先不同的topic，就会对θd和φt有影响了（根据前面提到过的这两个向量的计算公式可以很容易知道）。它们的影响又会反过来影响对上面提到的p(w|d)的计算。对D中所有的d中的所有w进行一次p(w|d)的计算并重新选择topic看作一次迭代。这样进行n次循环迭代之后，就会收敛到LDA所需要的结果了。