
基础准备
两样本推断性统计基础:两样本估计和假设检验基础。
通过对比单样本估计和假设检验的学习,可以列出独立两样本均值差的估计和假设检验在不同情况的置信区间公式,有以下总结:
两样本的t分布
t分布在单样本估计和假设检验要求:正态总体,可以使用t分布进行两样本估计和假设检验;两样本估计和假设检验要求:除了正态总体外,还要假设两总体方差相等(方差齐性)才能使用t分布,原因是两总体方差相等,才能得到自由度为n1+n2-2的均值差抽样分布的方差,推导公式如下:
参照上表,标准差已知的正态分布总体均值差抽样分布为正态分布,可以得到独立样本均值差的置信区间,置信区间公式推导过程如下:
范例1:一位森林学家想知道还把高度对红杉树高度的影响。他测量了海平面上100棵成树的高度(总体1,标准差已知为30英尺),高度均值为320英尺;海拔3000英尺的73棵成树的高度(总体2,标准差已知为45英尺),高度均值为255英尺;问:两总体均值差的95%置信区间是多少?
解:不同海拔的红杉树的高度可以认为是正态分布的,总体方差已知,而且不同海拔的红杉树是独立样本,可以直接用上面置信区间公式计算,过程如下:
和单样本假设检验一样(单样本的假设检验),两样本假设检验问题也有一对统计假设:零假设和对立假设;同样也存在两侧和单侧假设检验,而且单侧假设检验又分为右侧检验和左侧检验。两样本假设检验中,一般把零假设为两均值差为0,对立假设根据题意选择双侧假设或是单侧假设;两样本假设检验的步骤和单样本假设检验一样。
从上表可知:标准差已知的正态总体均值差的抽样分布为正态分布,进行标准正态变换后可以假设检验,过程见下方范例。
范例2:独立随机样本取自均值未知,标准差已知的两个正态分布总体,第一个总体,标准差为0.73,样本容量为25,样本均值为7.3;第二个总体,标准差为0.89,样本容量为20,样本均值为6.7;在显著水平为0.01下作两总体均值差等于0的右尾检验。
均值差的置信区间:标准差未知,但假定相等的正态分布总体的独立小样本(小于30)
如上表所示,标准差未知,但假定相等的正态分布总体小样本,均值差的抽样分布符合t分布,可用表中置信区间计算公式,计算过程见范例。
范例3:为研究睡眠对记忆力的影响,一位心理学家在两种条件下对人群进行试验,内容是有关北极野外生活的纪实电影的细节回忆,这两种条件是:(1)电影在早上7点反映,被测人晚上睡眠正常,第二天晚上给他们50个有关电影的多项选择题;(2)电影早7点反映,被测人白天情况如常,未睡觉,同一天晚上7点给他们50个问题,样本是独立的,每组为15人,结果为:第1组,均值为37.2个正确,方差为3.33;第2组,均值为35.6个正确,方差为3.24。假定两种条件下的总体都是正态分布,且方差相等,计算总体均值差95%的置信区间。
均值差的假设检验:标准差未知,但假定相等的正态分布总体的独立小样本(小于30)
同上(置信区间),该条件下的假设检验适用t分布。
范例4:为检测某种激素对失眠的影响,一个医生给两组临睡前的病人服用不同剂量的激素,然后测量他们从服药到入睡的时间,第一组服用的是5mg的剂量,第二组服用的是15mg的剂量,样本是独立的,结果为:第一组,样本容量为10人,均值为14.8min,方差为4.36;第二组,样本容量为12人,均值为10.2min,方差为4.66。假定两个条件下的总体是正态分布,并且有同方差,在显著水平0.02下,用临界决策规则作零假设:两总体均值差为0的双侧检验。
均值差的置信区间:标准差未知的任何总体分布的独立大样本(大于等于30)
对于独立大样本(样本容量大于等于30),均值差的抽样分布是正态分布,可以转为标准正态分布,进而使用Z分布进行均值差区间估计;当然,如果是正态总体且方差是齐性的,也可以使用t分布。
范例5:一位机场管理人员让你估计一下,两条航线中哪一条更遵守他们的计划起飞时间。对每条航线你随机测量了30架飞机的计划起飞和实际起飞时间差。现在不能假定时间总体是正态分布,或是方差齐性的,独立样本结果:航线1,平均时间差12.4min,标准差3.72;航线2,平均时间差11.7min,标准差3.6。问两条航线平均时间差的差值的99%置信区间是什么?
均值差的假设检验:标准差未知的任何总体分布的独立大样本(大于等于30)
同上的解释:对于独立大样本(样本容量大于等于30),均值差的抽样分布是正态分布,可以转为标准正态分布,进而使用Z分布进行均值差区间估计;当然,如果是正态总体且方差是齐性的,也可以使用t分布。
范例6:一位机场管理人员让你估计一下,两条航线中哪一条更遵守他们的计划起飞时间。对每条航线你随机测量了30架飞机的计划起飞和实际起飞时间差。现在不能假定时间总体是正态分布,或是方差齐性的,独立样本结果:航线1,平均时间差12.4min,标准差3.72;航线2,平均时间差11.7min,标准差3.6。在0.01显著水平下,用临界值决策规则作零假设:两条航线延误时间的差等于0的双侧检验。
均值差的置信区间:成对样本
对于成对样本,需要用到不同于上面描述的独立两样本的估计方法,而应该用成对样本模型,模型推导如下:
范例7:某个医学研究中心研究一种激素用量对于睡眠的影响。为了避免随机选择的偶然性(例如用15mg的病人比5mg的年轻)对试验结果的影响,于是根据可能影响睡眠的年龄、性别、健康情况一起其它因素选择了12对病人,然后将每对病人随机分配到5mg组和15mg组。对每个病人测量从服药到入睡的时间,然后计算每对的时间差,结果是:4.9,4.6,5.1,4.5,7.1,3.2,5.4,3.9,5.9,4.6,2.9,4.7。由这些数据计算5mg组合15mg组的95%置信区间,假定差值的总体是正态分布。
均值差的假设检验:成对样本
同上,成对样本均值差的假设检验也用t分布。
范例8:某个医学研究中心研究一种激素用量对于睡眠的影响。为了避免随机选择的偶然性(例如用15mg的病人比5mg的年轻)对试验结果的影响,于是根据可能影响睡眠的年龄、性别、健康情况一起其它因素选择了12对病人,然后将每对病人随机分配到5mg组和15mg组。对每个病人测量从服药到入睡的时间,然后计算每对的时间差,结果是:4.9,4.6,5.1,4.5,7.1,3.2,5.4,3.9,5.9,4.6,2.9,4.7。在显著水平0.05下,用临界值决策桂策做零假设:两总体均值差为0的右侧检验,假设差值总体是正态分布。
方差比
上一篇两样本估计和假设检验基础讲过,两样本均值估计和假设检验用均值差表示,而两样本方差估计和假设检验则应该用方差比。这里就引出了F分布(F分布回顾:两样本估计和假设检验基础)。
方差比的置信区间:参数未知的正态分布总体的独立样本
范例9:为检测某种激素对失眠的影响,一个医生给两组临睡前的病人服用不同剂量的激素,然后测量他们从服药到入睡的时间,第一组服用的是5mg的剂量,第二组服用的是15mg的剂量,样本是独立的,结果为:第一组,样本容量为10人,均值为14.8min,方差为4.36;第二组,样本容量为12人,均值为10.2min,方差为4.66。假定两种条件下的总体都是正态分布,计算量总体方差比的90%置信区间。
范例10:为检测某种激素对失眠的影响,一个医生给两组临睡前的病人服用不同剂量的激素,然后测量他们从服药到入睡的时间,第一组服用的是5mg的剂量,第二组服用的是15mg的剂量,样本是独立的,结果为:第一组,样本容量为10人,均值为14.8min,方差为4.36;第二组,样本容量为12人,均值为10.2min,方差为4.66。假定两总体方差齐性,在0.01显著水平下,用临界值决策规则作这个假定的双侧检验。
数据分析咨询请扫描二维码
若不方便扫码,搜微信号:CDAshujufenxi
LSTM 模型输入长度选择技巧:提升序列建模效能的关键 在循环神经网络(RNN)家族中,长短期记忆网络(LSTM)凭借其解决长序列 ...
2025-07-11CDA 数据分析师报考条件详解与准备指南 在数据驱动决策的时代浪潮下,CDA 数据分析师认证愈发受到瞩目,成为众多有志投身数 ...
2025-07-11数据透视表中两列相乘合计的实用指南 在数据分析的日常工作中,数据透视表凭借其强大的数据汇总和分析功能,成为了 Excel 用户 ...
2025-07-11尊敬的考生: 您好! 我们诚挚通知您,CDA Level I和 Level II考试大纲将于 2025年7月25日 实施重大更新。 此次更新旨在确保认 ...
2025-07-10BI 大数据分析师:连接数据与业务的价值转化者 在大数据与商业智能(Business Intelligence,简称 BI)深度融合的时代,BI ...
2025-07-10SQL 在预测分析中的应用:从数据查询到趋势预判 在数据驱动决策的时代,预测分析作为挖掘数据潜在价值的核心手段,正被广泛 ...
2025-07-10数据查询结束后:分析师的收尾工作与价值深化 在数据分析的全流程中,“query end”(查询结束)并非工作的终点,而是将数 ...
2025-07-10CDA 数据分析师考试:从报考到取证的全攻略 在数字经济蓬勃发展的今天,数据分析师已成为各行业争抢的核心人才,而 CDA(Certi ...
2025-07-09【CDA干货】单样本趋势性检验:捕捉数据背后的时间轨迹 在数据分析的版图中,单样本趋势性检验如同一位耐心的侦探,专注于从单 ...
2025-07-09year_month数据类型:时间维度的精准切片 在数据的世界里,时间是最不可或缺的维度之一,而year_month数据类型就像一把精准 ...
2025-07-09CDA 备考干货:Python 在数据分析中的核心应用与实战技巧 在 CDA 数据分析师认证考试中,Python 作为数据处理与分析的核心 ...
2025-07-08SPSS 中的 Mann-Kendall 检验:数据趋势与突变分析的有力工具 在数据分析的广袤领域中,准确捕捉数据的趋势变化以及识别 ...
2025-07-08备战 CDA 数据分析师考试:需要多久?如何规划? CDA(Certified Data Analyst)数据分析师认证作为国内权威的数据分析能力认证 ...
2025-07-08LSTM 输出不确定的成因、影响与应对策略 长短期记忆网络(LSTM)作为循环神经网络(RNN)的一种变体,凭借独特的门控机制,在 ...
2025-07-07统计学方法在市场调研数据中的深度应用 市场调研是企业洞察市场动态、了解消费者需求的重要途径,而统计学方法则是市场调研数 ...
2025-07-07CDA数据分析师证书考试全攻略 在数字化浪潮席卷全球的当下,数据已成为企业决策、行业发展的核心驱动力,数据分析师也因此成为 ...
2025-07-07剖析 CDA 数据分析师考试题型:解锁高效备考与答题策略 CDA(Certified Data Analyst)数据分析师考试作为衡量数据专业能力的 ...
2025-07-04SQL Server 字符串截取转日期:解锁数据处理的关键技能 在数据处理与分析工作中,数据格式的规范性是保证后续分析准确性的基础 ...
2025-07-04CDA 数据分析师视角:从数据迷雾中探寻商业真相 在数字化浪潮席卷全球的今天,数据已成为企业决策的核心驱动力,CDA(Certifie ...
2025-07-04CDA 数据分析师:开启数据职业发展新征程 在数据成为核心生产要素的今天,数据分析师的职业价值愈发凸显。CDA(Certified D ...
2025-07-03