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什么是卡方分布，有什么特征？
2020-06-24
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一、卡方分布定义

卡方分布 (χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X

X=\sum_{n=1}^k Z_n^2

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

X\ \sim\ \chi^2(k)

二、卡方分布特征

卡方分布的概率密度函数为：

f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

其中x≥0. 当x≤0时fk(x) = 0.这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为：

F_k(x)=\frac{\gamma(k/2.x/2)}{\Gamma(k/2)}

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)

其中ψ(x) 是 Digamma function。


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