2019-01-24
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距离度量——马氏距离定义与公式
马氏距离的引出：
上图有两个正态分布的总体，它们的均值分别为a和b，但方差不一样，则图中的A点离哪个总体更近？或者说A有更大的概率属于谁？显然，A离左边的更近，A属于左边总体的概率更大，尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。
- 概念：马氏距离是基于样本分布的一种距离。物理意义就是在规范化的主成分空间中的欧氏距离。所谓规范化的主成分空间就是利用主成分分析对一些数据进行主成分分解。再对所有主成分分解轴做归一化，形成新的坐标轴。由这些坐标轴张成的空间就是规范化的主成分空间。
- 定义：有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到μ的马氏距离表示为：
向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：
若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布），则Xi与Xj之间的马氏距离等于他们的欧氏距离：
若协方差矩阵是对角矩阵，则就是标准化欧氏距离。
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