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【趣说数学】懂点儿数学,排队更省时
2014-07-07
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 要是刘姥姥来到21世纪,把每一座大都市都逛上几圈,她一定会觉得都市人最喜欢的娱乐就是排队。早在1946年,匈牙利裔的作家乔治·米克斯(George Mikes)定居伦敦时,就在著作《如何当一个外星人 》(How To Be An Alien)中写下了一段经典名言:“到周末,英国人在公车站前排队到里士满公园(Richmond Park)玩。他们排队等游船,排队等喝茶,排队等吃冰淇淋。然后纯粹出于兴趣,再去排一些更奇怪的队伍。最后回到公车站前排队,花上他一辈子的时间……许多英国家庭喜欢晚上在家里排上好几个小时的队伍。当小孩子不玩了,准备排队去睡觉时,是父母们最难过的时刻了。”


      这是旁观者兴灾乐祸的心态。对于身陷在队伍之中的人,或者商家来说,看到这么多等得不耐烦、随时要离开的客人,总归是一件不好的事。各位有没有想过,如果不考虑先来先到的公平性原则,想减少所有客人等候时间总和的话,该先服务哪些客人吗?答案是,先服务很快就可以搞定的客人。


       举例来说,大毛、二毛、小明三兄弟在柜台前排队,大毛买了全家的生活用品,得花100秒结帐;二毛拿了一堆零食,需要花50秒结帐;而小明只拿一罐奶茶,10秒就结完帐了。如果按照年龄从大到小的顺序结帐,大毛、二毛、小明各自会花上100秒、150秒、160秒的时间才能完成结帐,平均时间为136.7秒。但如果颠倒过来让结帐快的人先结帐,则小明、二毛、大毛仅需要10秒、60秒、160秒可以完成结帐,平均是76.7秒,缩短了60秒。


       用符号表式可以看得更清楚,当三人结帐时间各自为t1、t2、t3,并按照这样的顺序结帐时,每个人各自完成结帐的时间是t1、t1+ t2、t1+ t2+ t3,平均为t1+ 2t2/3+ t3/3。随着队伍的顺序,越后面的人对结帐时间影响越小,以N个人来说,第n位客人的排队时间是tn,平均时间即为:

       因此,店家可以先处理那些不大需要花时间的客人,这样可以降低每人平均等待时间,提升顾客满意度;同样的道理,店家也可以反过来,先处理大客户的单,营造出门庭若市的热闹形象。所以如果你看到某间盐酥鸡摊位前排队的人特别多,说不定不一定是很好吃,只是老板数学很好,刻意延后那些只买豆干或甜不辣的点单。


       然而,因为现实情况中需要考虑的地方太多,数学理论有时很难直接套用。在排队这个问题上,就算可以依照结帐时间排队,商家也不愿意真的这么做。因为要是真按照这个标准,等于变相鼓励大家买少一点,才能快点结帐。买了10万元的大客户永远得被排在最后面,等到铁卷门拉下来了才能结他的帐。


       但这则理论并没有失效,商人们依然成功地将它转化为了一件我们都知道的东西——快速结帐柜台。借由快速结帐柜台设定的结帐门槛,将原本结帐时间短到长的排序,用二分法取代,低于门槛的人优先处理。如此一来,就能够大幅缩减整体的排队时间。


       不过,快速结帐柜台还是有些缺点。要是大家都买太多,就没人可以去快速结账柜台;或刚好相反,大家都买很少,就会有一群人塞在快速结账柜台,让“快速”两个字变得很讽刺。因此,可以将快速结账柜台的件数限制改成用LED屏幕动态显示,即根据现在的顾客人数,搭配顾客结帐时间的统计分布图,实时估算出最佳的快速结帐柜台件数限制。甚至,可以设定好几个快速结帐的柜台,各自有不同的结帐门槛。
       这样的想法很有效,但也很复杂。要是真的实践了,光应付搞不清楚状况的顾客,恐怕就会花上更多时间。拥有好几个结帐柜台的商家,因此又采用了一个更简单,且同样广为使用的策略:将排在多个柜台前的多条队伍整合成一条队伍,借此大幅提升排队效率。

       继续以刚才的大毛、二毛、小明例子来说,假设他们还有一位表弟三毛,购买的商品结帐时间为20秒。假设大毛、小明和二毛、三毛分别排两条队伍,四人结帐所需的时间各自为大毛100秒、小明110秒、二毛50秒、三毛70秒,平均是82.5秒。但如果四人排成一条线,顺序是大毛、二毛、三毛、小明,则两个柜台各自结帐的顺序分别是(大毛),(二毛,三毛,小明)。大毛、二毛、三毛所需的时间不变,但小明却可以在三毛结帐后,不用继续站在大毛后面空等,直接去另一个柜台结帐,最终只需要80秒,省下了20秒(原本排两列的状况,很可能小明在等大毛时,旁边的柜台又有新的人排队,让小明无法换柜台)。换句话说,将多条排队的人潮合并化成一条,可以避免因为某一个结账时间特别久的人,而延长该队伍客人的整体结帐时间。

       因此,如今在银行、邮局、飞机登机柜台、ZF机关,都采用了搭配电子叫号的单条排队制度。不仅让客人在等候时可以坐在沙发上看报纸,还能大幅缩短平均排队时间。大卖场不这么做的原因,一部分是因为柜台拉得太长,要是最远的柜台空了,恐怕客人也不愿意推着推车走过去;另一个原因是,实际在现场时,客人会去观察每个柜台的排队人数,甚至根据队伍中每位客人篮子里的物品项目,估算每条队伍的排队时间,再选择一条自己认为最快的队伍。在这样智慧的选择下,多条排队的效果将会大幅提升。


★让我们再来看看同样是等待,麦当劳和wendy汉堡店又有什么不同的排队方式:




       排队是件烦人的事情,却又无法避免。不同地方排队方式不总是一样。很多地方采用的是“蛇形排队法”,在几个柜台同时工作的时候,所有的顾客只排一队,队伍像一条长长的蛇一样在间隔的栅栏之间穿行,排在队伍最前面的顾客就可以得到服务。而有的地方采用的则是传统的,每个柜台后面各自排一队的方式。美国卖汉堡的两家快餐店——Wendy汉堡和麦当劳,就分别使用了蛇形排队法和多列排队法。如果要较个真的话,这两种排队方法孰优孰劣呢?麦当劳和Wendy汉堡假设餐厅里有两个柜台可以提供服务,在几十秒之内 10 位顾客先后到达,排起了队,麦当劳和 Wendy 汉堡店里的队伍分别会是这样:


       假设这十位顾客中有九位顾客每人需要 1 分钟就能就能买完汉堡走人,但排在第五个的“红衣男子”是位麻烦顾客,需要 10 分钟时间才能搞定。在这两种排队方式之下,哪一种可以让顾客平均花费的时间更短?两分钟后,麦当劳和 Wendy 汉堡的前四位顾客都买完东西了,这时轮到“特殊顾客”登场。


       在第三分钟的时候,麦当劳 B 柜台向前移了一步, Wendy 汉堡的 B 柜台也换了一个新顾客,而 A 柜台还是被红衣顾客霸占着。


       到了四分钟,情况如故,两家店的 B 柜台又迎来一位新顾客。在麦当劳里, A 柜台排在红衣男后面的两位顾客发现有点不对劲:自己的队伍为什么这么慢?鉴于B柜台前面只剩一个人了,于是他们都换到 B 柜台队伍里,只留下特殊顾客一个在 A 柜台前。


       这样下来,最后两家店都是需要一共 7 分钟的时间,服务完9位普通顾客(红衣男除外)。不过,你可能觉着麦当劳的几位顾客因为那位红色特殊顾客的原因每人浪费了 1 分钟的时间,这会导致两家店九位正常顾客的平均花费的时间(包括排队等待+买东西)不一样吗?计算表明,在麦当劳和 Wendy 汉堡的排队时间都是 3.44 分钟,是相同的。

       哪种排队方式最方便?其实无论对于麦当劳,还是 Wendy 汉堡,特殊顾客出现之前,两个柜台整体的服务能力都是每分钟服务 2 名顾客。在某一时刻,特殊顾客同时在两家店出现之后,霸住一个柜台,柜台整体服务能力就变成每分钟服务 1 名顾客,所以无论排一列还是两列队,两家店平均服务效率是一直是相同的,并不会改变顾客时间。除非采取“多列排队”的柜台有的空出来了,,但是这种情况也不会出现,因为一旦某个柜台空出来了,其他列的顾客会立刻补过去。现实情况比上面的例子复杂的多,每位顾客到达的先后顺序、需要的服务时间不是固定的,而是按照一定的概率分布的。但模拟的结果同样会发现,“蛇形排队法”对于节省时间其实并没有帮助。如果我们让特殊顾客早一点出现或者晚一点出现,也就是说让他在最开始的时候不是第五个排
      
       Wendy汉堡店里摆放的那些“蛇形”排队通道既然不能缩短排队时间,就真的没有意义了吗?实际上这种排队方式是最大优点是公平,保证先到先得。


       如果你在麦当劳排队,特殊顾客第一个到,之后其他顾客依次到达(数字表示到达的前后顺序),排好队之后发现 A 柜台被一名“神秘顾客”霸住,就等不能结束。于是 A 柜台的那一队顾客转投B柜台,很不幸,这时他们只能排在 B 队末尾。


      如此一来,原本第三个到的变成了花时间最多的、最后一个走的。而在 Wendy 汉堡的排队就不存在这个问题,它总是可以保证“先到先得”,花费的时间由最开始在队伍的位置决定。当然,麦当劳的排队方式由顾客自己选择排哪个队伍,中途自行决定是否更换队伍,Wendy汉堡只有一列队伍,没有这些“烦恼的选项”。于是也就不会出现下面这种排队时最讨厌遇到的情况了:


       不过 Wendy 汉堡的排队方式也有一个坏处,因为只有一列队,而且很长,顾客容易在心理上觉着人多拥挤、望而生畏,进而影响到店内生意。要说“麦当劳式”排队法好还是“Wendy汉堡式”排队法好,还得取决于服务的内容、顾客到达的的频率、服务时间的概率分布、场地大小等各方面因素。如果要让顾客选,顾客最愿选择的恐怕还是永远看不到等待的队伍。

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