1.ARIMA(0,1,0) = random walk:

当d=1，p和q为0时，叫做random walk，如图所示，每一个时刻的位置，只与上一时刻的位置有关。

预测公式如下：

Yˆt=μ+Yt−1Y^t=μ+Yt−1

2. ARIMA(1,0,0) = first-order autoregressive model:

p=1, d=0,q=0。说明时序数据是稳定的和自相关的。一个时刻的Y值只与上一个时刻的Y值有关。

Yˆt=μ+ϕ1∗Yt−1.where, ϕ∈[−1,1],是一个斜率系数Y^t=μ+ϕ1∗Yt−1.where, ϕ∈[−1,1],是一个斜率系数

3. ARIMA(1,1,0) = differenced first-order autoregressive model:

p=1,d=1,q=0. 说明时序数据在一阶差分化之后是稳定的和自回归的。即一个时刻的差分（y）只与上一个时刻的差分有关。

yˆt=μ+ϕ1∗yt−1结合一阶差分的定义，也可以表示为：Yˆt−Yt−1=μ+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)或者Yˆt=μ+Yt−1+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)y^t=μ+ϕ1∗yt−1结合一阶差分的定义，也可以表示为：Y^t−Yt−1=μ+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)或者Y^t=μ+Yt−1+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)

4. ARIMA(0,1,1) = simple exponential smoothing with growth.

p=0, d=1 ,q=1.说明数据在一阶差分后市稳定的和移动平均的。即一个时刻的估计值的差分与上一个时刻的预测误差有关。

yˆt=μ+α1∗et−1注意q=1的差分yt与p=1的差分yt的是不一样的其中，yˆt=Yˆt−Yˆt−1, et−1=Yt−1−Yˆt−1,设θ1=1−α1则也可以写成：Yˆt=μ+Yˆt−1+α1(Yt−1−Yˆt−1)=μ+Yt−1−θ1∗et−1y^t=μ+α1∗et−1注意q=1的差分yt与p=1的差分yt的是不一样的其中，y^t=Y^t−Y^t−1, et−1=Yt−1−Y^t−1,设θ1=1−α1则也可以写成：Y^t=μ+Y^t−1+α1(Yt−1−Y^t−1)=μ+Yt−1−θ1∗et−1

5. ARIMA(2,1,2)

在通过上面的例子，可以很轻松的写出它的预测模型：

yˆt=μ+ϕ1∗yt−1+ϕ2∗yt−2−θ1∗et−1−θ2∗et−2也可以写成:Yˆt=μ+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)+ϕ2∗(Yt−2−Yt−3)−θ1∗(Yt−1−Yˆt−1)−θ2∗(Yt−2−Yˆt−2)y^t=μ+ϕ1∗yt−1+ϕ2∗yt−2−θ1∗et−1−θ2∗et−2也可以写成:Y^t=μ+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)+ϕ2∗(Yt−2−Yt−3)−θ1∗(Yt−1−Y^t−1)−θ2∗(Yt−2−Y^t−2)

6. ARIMA(2,2,2)

y^t=μ+ϕ1∗yt−1+ϕ2∗yt−2−θ1∗et−1−θ2∗et−2

Y^t=μ+ϕ1∗(Yt−1−2Yt−2+Yt−3)+ϕ2∗(Yt−2−2Yt−3+Yt−4)−θ1∗(Yt−1−Y^t−1)−θ2∗(Yt−2−Y^t−2)