从协方差分析看回归与方差分析的联系

作者：丁点helper

来源：丁点帮你

无论是单因素还是双因素方差分析，我们可以发现，它们都有一些共性，比如研究的因变量（如前文的硒含量、满意度得分），都是定量变量；而自变量，即分组变量（如地区、教育程度、性别）都是定性变量。

现在我们将前文“满意度得分的例子”继续延伸：除了我们关注的“教育程度”和“性别”外，还有其他变量会影响人们对生活的满意度得分吗？

当然有，比如收入水平！

很显然，一个人的工资多少完全可能直接决定他目前对生活的满意度。因此，倘若我们忽视了调查对象的收入情况，仅研究教育程度和性别的影响，这样就可能造成结果产生偏移，也就是说可能本来没意义的结果变成了有意义，从而得出误导性的判断。

因此，在这种情况下，“收入”这个变量就被称为“协变量”，可以记为“Z”。纳入协变量的方差分析，即称协方差分析。

一般而言，进行协方差分析的协变量为“定量变量”，比如本例中的“人均月收入”，它一般不是研究者重点研究的变量（本例中重点研究的是教育程度和性别），但因为它会对分析结果造成干扰，因此在分析过程中必须要将其纳入。

所以，协方差分析仍然是建立在方差分析这个基本框架之上的，其思想与单因素以及双因素方差分析区别也不大，并且在进行分析前数据需要满足的条件也都需要。

此外，因为加入了一个新的变量——协变量，所以也有些额外了条件需要满足。我们今天对这些条件做些概述。

1）变量的类型：一般而言，进行协方差分析，因变量是定量的连续变量（如本例的“满意度得分”）；自变量是分类变量（可以加入多个自变量，如本例中的“教育程度”和“性别”）；协变量是连续变量（如本例的“收入”）。

2）线性关系：原则上需要协变量与因变量存在线性关系。

3）平行性假设：分组变量的不同水平下，协变量与因变量的回归直线互相平行。

线性假设和平行性假设初次看起来可能比较难理解，但实际上就是为了排除所谓的交互作用。什么是交互作用呢？

比如我们想研究“教育程度”与“满意度得分”的关系，协变量是收入。在不考虑协变量时，发现随着教育程度的升高，人们的满意度得分也逐渐升高，比如教育上升一个等级（从“高中毕业”到“大学本科”，或者从“大学本科”升至“研究生及以上”），满意度得分都会增加5分。

现在加入“收入”这个协变量之后，发现随着教育程度升高，满意度得分也升高，但是不同的学历程度，其升高的幅度不一样。

比如，加入协变量之后，从“高中毕业”升至“大学本科”，满意度得分仍增加5分；但如果从“大学本科”升至“研究生及以上”，满意度得分仅仅增加3分。这个时候，我们就说收入与教育程度产生了交互作用。

产生了交互作用，也就意味着收入对生活满意度的影响会随着教育程度的变化而变化（注意这里的措辞，收入影响的是满意度和教育程度的相关关系，而不仅仅是其中某一个变量，这是理解交互作用的核心）

这句话也可以反过来说。教育程度对生活满意度的影响会随着人们收入不同而不同，用线性回归的术语来表示就是：不同的教育程度下，收入与满意度得分的回归直线斜率（β）不同，因此，它们就不会平行（两直线平行需要斜率相同）。

所以，想满足平行线假设，就需要协变量与自变量之间不存在交互作用，这个可以通过专门的检验方法来判断。

看到这里，你可能会疑惑，明明在讲方差分析，怎么扯到回归的内容了？

是的，方差分析和回归分析实际上可以看做是一回事儿，只是两者侧重点略有不同，前者主要是比较差异，后者主要是算影响的效应值（即回归系数β，这一点我们后面详述）。

一方面对于多因素或协方差分析的SPSS操作，我们称作“一般线性模型”；另外在进行回归分析之后软件也都会首先弹出一个方差分析的大表，检验整个回归模型是否有意义。

只不过我们在进行回归分析时，并没有严格区分自变量和协变量，而是将它们一股脑地全部纳入回归模型，然后筛选出最终有意义的变量。

因此，我们现在讲的方差分析，其实就是后续回归分析的一些特例，从回归的角度理解方差分析，相信你会看的更加明了！

回到我们今天的主题，除了上述三个条件，在进行协方差分析时也需要注意其他条件，比如常说的正态、独立、方差齐等，处理的方法也和普通的方差分析基本相同，暂不赘述。