一文带你快速了解矩阵中特征值与特征向量那些事儿

在线性代数中，我们都学过特征值与特征向量，但是对于这两者的意义以及应用却理解得不是那么深刻。机器学习中，我们也经常会遇到特征值与特征向量这两个概念，小编今天就给大家具体分享一下这两者的基本知识。

一、特征值和特征向量定义

设A为n阶方阵，如果数λ和n为非零列向量x，并使得Ax=λx成立，那么就把λ叫做方阵A的一个特征值，x就是方阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。

需要注意：

1.A是方阵。(对于非方阵来说，是不存在特征值的，但是会存在条件数。)

2.特征向量x为非零列向量。

二、特征值和特征向量几何意义

如果把矩阵当做是运动，那么对于运动来说，最重要就是速度和方向了。

特征值表示运动的速度

特征向量表示运动的方向

接下来我们调整向量v的方向，使其看起来特殊一点

特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，特征值决定了伸缩的幅度。如果特征值大于1.那么所有属于此特征值的特征向量变长;当特征值大于0小于1时，那么特征向量就会缩短;当特征值小于0.这时特征向量缩过了界，就会反方向到达原点。

三、特征值、特征向量的性质

1.只有方阵才有特征值和特征向量 。因为总有特征多项式(特征方程)，所以方阵总有特征值，但是并不是所有方阵都有实数特征解

2.实方阵一定有实数特征解

3.不同特征值对应的特征向量是线性无关的

4.对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交(相互垂直)

四、矩阵对角化

矩阵对角化的充要条件为：n阶矩阵有n个线性无关的特征向量。

推断出：如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值，那么方阵A可对角化。

并且：

对角阵的主对角元素为A的特征值

可逆矩阵P由A的n个线性无关的特征向量作列向量构成。

五、python求解特征值和特征向量示例

>>> a=np.array([[1,2,3],[3,2,5],[1,10,8]])
>>> e,q=np.linalg.eig(a)
>>> e
array([ 13.50864036,  -0.42667365,  -2.0819667 ])
>>> q
array([[-0.27543318, -0.6534998 , -0.23748816],
       [-0.44255955, -0.44847532, -0.67779488],
       [-0.85339183,  0.60976053,  0.69584012]])
>>> 
>>> E=np.diag(e) # 对角阵
>>> E
array([[ 13.50864036,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,  -0.42667365,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,  -2.0819667 ]])