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回归系列(四)| 一个完整的线性回归是怎样做的
2020-09-07
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作者:丁点helper 

来源:丁点帮你

前面的文章主要介绍了回归的一些关键词,比如回归系数、样本和总体回归方程、预测值和残差等,今天我们结合一个案例来看看如何做完整的回归分析,准确而言,是多重线性回归(Multiple Linear Regreesion)。

回顾:多重线性回归

多重线性回归,一般是指有多个自变量X,只有一个因变量Y。前面我们主要是以简单线性回归为例在介绍,两者的差距主要在于自变量X的数量,在只有一个X时,就称简单线性回归

在实际应用中,我们当然很少只纳入一个自变量。多重线性回归一般也叫“多元线性回归”,我更支持“多重”的叫法,因为“多元”一般也指“因变量Y”有多个。

通过前面的文章,我们知道做线性回归就是要构建Y与X的线性关系,主要目的有两个,一是确定X对Y的影响程度(即回归系数的计算);二是通过X来预测Y。

这里最重要的一条准则是:Y需要是定量变量,就是类似于“收入”、“得分”等。而对X没有这样的要求,可以是定量的,如“教育年限”、“年龄”等;也可以是“性别”、“民族”等分类变量。

案例 从某高校三年级女生体检的数据中,随机抽取20名作为样本,数据包括体重(kg)、胸围(cm)、肩宽(cm)及肺活量(L),分析女大学生肺活量的影响因素,数据见下表:

首先简单看看上表的数据,我们想要研究女生肺活量的影响因素,所以回归的因变量为“肺活量(Y)”,根据常识和数据,这里的Y是定量变量。

搜集的其他数据作为潜在的影响因素(X)纳入回归方程,分别是:体重、胸围、肩宽。我们也能简单就能判断这三个自变量都是定量变量。

(对于变量类型如何判断还不太了解的同学,戳此回顾)

这里进行回归分析,一是判断这些X是否都会影响Y(总体回归系数是否不为0);二是通过构造的回归方程,未来根据X的值计算Y的预测值。

多重线性回归的SPSS操作

回归分析用SPSS操作的步骤如下:

SPSS数据录入格式

SPSS回归分析的菜单(Linear代表线性回归

回归操作窗口,Dependent为因变量,Independent为自变量,分别移入

上图中的“Method”称作“自变量筛选”方法,我们做线性回归分析很重要的一点是找Y的影响因素,这里的“找”就意味着“筛选”。

比如本案例我们纳入了三个自变量,通过回归分析,就是要找到那些真正对Y产生影响的变量。最终的结果有可能三个X都有影响,则最终的回归方程会有三个X,也有可能一个X都没有。

我们看到Method的下拉菜单有不同的选项:

Enter:将自变量强行全部纳入回归方程,不排除回归系数P值大于0.05的情况;

Stepwise、Remove、Backward、Forward,这些都是软件筛选自变量的方法,虽然名称不一,但思想相近,主要就是根据回归系数检验的P值是否小于0.05(有的是0.1)判断回归方程中应不应该有这个变量。

一般来讲,没有哪个筛选方法最优,但实际应用中常见的是Stepwise和Backward,建议大家自己进行回归分析时可以更换不同的方法尝试,选择自己认为合适的方法。

本案例使用Stepwise法,中文称为“逐步法”或“步进法”。

多重线性回归的结果分析

以下为SPSS分析结果展示:

表1:回归方程的拟合程度

上表最左侧一列为“Model”,表示的是SPSS筛选变量的过程,因为我们选择的是stepwise,所以每进行一步,即每筛选一个变量,就称为一个Model,比如Model"1"表示只纳入1个自变量,Model“2”表示纳入2个,“3”表示纳入3个,”4“表示最终模型剔除了一个自变量,仅纳入2个自变量。

表格第2-4列分别为”R、R Square、Adjusted R Square“,一般的教科书讲的很多,表示的是回归方程对因变量的解释程度,数值越大,解释度越高。但它又是一个比较尴尬的数,实际应用简单参考即可。

表2:回归方程的整体检验

这里的Model和上表1中表示的是同一个意思,代表了包括不同自变量的回归方程。对于回归方程的检验,一般来讲,都是有统计学意义的,看最后一列(Sig.),即P值均小于0.05。

表3:回归系数结果

表3中的Model详细展示了变量的筛选过程,比如在Model 3中,回归方程将三个自变量”肩宽、体重、胸围“全部纳入,但是发现,”肩宽“这个变量的Sig.(P值)大于0.1了,于是就将它剔除出去,从而得到模型4——只纳入”体重和胸围“两个自变量,对照后面的P值结果,均小于0.05。

以上只是一种筛选变量的一种方法(Stepwise),通过统计软件P值自动进行,这并不意味,所有的线性回归分析均只能通过这种方法筛选,我们常说需要结合专业知识判断,在做回归分析时也不例外。

如果回归分析的结果与专业知识相悖,比如根据专业知识有影响的变量却被软件剔除,那我们首先得慎重思考回归的结果是否可信,比如是否满足前文提及的LINE条件,是否出现了多重共线性问题等等;如果经过诊断分析发现这些问题都不存在,在研究报告或论文中,仍可以如实地报告结果,为后面的研究提供参考。

本案例,我们还是依照统计软件的结果筛选变量,得到的最终回归方程为:

根据上表,我们写出本研究的回归方程:

上述结果表示,可以认为体重和胸围是影响该校一年级女大学生肺活量的主要因素,保持胸围不变,体重增加1kg,估计肺活量平均增加0.081L(回归系数”0.081“的含义,在多重线性回归分析中也可称作”偏回归系数“);保持体重不变,胸围增大1cm,估计肺活量平均增加0.046L(回归系数”0.046“的含义)。

另外,上表最后一列提供了一个”标准化偏回归系数“,这是将XY分别标准化之后再进行回归分析,如下:

”标准化偏回归系数“可以用来比较不同的自变量X对Y的影响程度。本例中,体重和胸围的标准化偏回归系数分别为0.644和0.436,意味着体重对肺活量的影响大于胸围对肺活量的影响。

以上即为回归分析的全过程,最后留给大家一个思考题,这里进行的分析,表示的是X和Y的相关关系,还是因果关系?欢迎在评论区留言讨论。

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