两独立样本秩和检验——Mann-Whitney检验

文章来源： 丁点帮你

作者：丁点helper 

两组独立样本的非参数检验与其t检验相对，主要是用于不满足正态分布的小样本，一般用Wilcoxon秩和检验，又称Mann-Whitney 检验。

这里我们想指出一点的是，人们往往对正态性的关注更多一些，其实样本量也很重要，这里是样本量较小的情形，如果样本量足够大（比如超过40），即使正态性不满足，也可以使用t检验，而且更推荐用t检验。

案例：在某小学随机采集12岁男童和女童各10名的头发样品，检测发样中钙(Ca)含量(μg/g)，数据见下表。男童与女童头发中Ca含量有无差异？

上述数据经过正态性检验，P<0.05，此时认为数据不符合正态分布，即男童组与女童组的数据均不服从正态分布；又因为样本量合计仅有20，所以可采用非参数秩和检验。

下面，我们简单说说这其中的基本思想：

和之前讲解的单样本及配对样本秩和检验一致，这里都需要先编制求秩和，然后用秩和进行检验统计量的计算。

比如，随机抽取样本量分别为n1和n2的两个独立样本，要先将全部数据统一编秩，注意是两组混合起来统一编制。

如上表，就是将男童与女童混合在一起进行编制，然后分组计算秩和。

这里，相当于对原始数据进行了秩变换，即用秩数据代替原始数据进行分析，从而不受原始数据需满足正态分布的条件限制。

如果上述女童组的Ca含量原始数据高于男童组，则女童组Ca含量的秩和也大概率会高于男童组。

我们说过，编秩就是数数，这里一共有20个样本，总秩和加起来为210（就是从1加到20：用中学的公式，首位相加乘以项数除以2）。

如果满足假设，两组儿童Ca含量没有差异，那么两组的秩和大概率都等于105（210的一半）。

以上是基本的思路，严格来讲，检验是在计算秩和后，取任意一组样本（如男童）的秩和（R1=77）作为Wilcoxon秩和检验统计量W，在H0假设成立情况下,则W的均数和标准差分别等于：

当W远离其均数时，则有理由拒绝零假设，认为两组有差异。

比如本例W=77（男童的秩和），比  小约2倍标准差：（77-105）/13.229=-2.116，所以，粗略判断，两组数据应该是有差异的。

这里关于W统计量均数和标准差的计算可以不用特别关注，主要是理解整个思想过程，具体的计算都会交由软件来做。

上述案例标准的检验的步骤总结如下：

(1) 建立检验假设，确定检验水准

H0：男童与女童头发中Ca含量的总体分布相同

H1：男童与女童头发中Ca含量的总体分布不同

a=0.05

(2) 编秩、求秩和

先将男童组与女童组发样中Ca含量的数值由小到大统一编秩，将两组秩分别相加得每组秩和。

(3) 计算检验统计量

本例W=77，Z=-2.116。

(4) 确定P值，作出推断

本例P=0.034，按α=0.05 水准拒绝H0 ，接受H1 ，可以认为男童与女童的头发中Ca含量差异有统计学意义。男童组平均秩为77/10=7.7，女童组平均秩为133/10=13.3，可认为女童的头发中Ca含量高于男童。

另外，值得指出的是，在实际应用中，有一些数据是用离散尺度表达的，什么意思？

比如对于疼痛的评分，研究者会将疼痛用0至10个数据表示，0表示无痛、10表示最痛，研究对象需要根据自身的疼痛程度在这11个数字中挑选一个数字代表疼痛程度。

当用此类数据进行秩和检验，常常会出现很多相同秩，这个时候，检验统计量的计算会略有差别，这个大家稍微留意，不过一般统计软件在分析时会自动调整。