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使用Excel绘制F分布概率密度函数图表
2016-08-07
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使用Excel绘制F分布概率密度函数图表

利用Excel绘制t分布的概率密度函数的相同方式,可以绘制F分布的概率密度函数图表。
  F分布的概率密度函数如下图所示:
 


 
  其中:μ为分子自由度,ν为分母自由度
  Γ为伽马函数的的符号
  由于Excel没有求F分布的概率密度函数可用,但是F分布中涉及到GAMMALN()函数,而excel是提供GAMMALN()函数的,所以我们可以使用excel中的GAMMALN()函数的运算来计算得到F分布的概率密度函数。(可参见【附录】)
  经转换后上述公式为:
F(X,df1,df2)=EXP(GAMMALN((DF1+DF2)/2))*(DF1^(DF1/2))*(DF2^(DF2/2))*(X^(DF1/2-1))/EXP(GAMMALN(DF1/2))/EXP(GAMMALN(DF2/2))/((DF2+DF1*X)^((DF1+DF2)/2))
                         ……………………………………………………………公式(1)
  现以分子自由度μ=20,分母自由度ν=20为例,求F分布的图表,可由以下几步进行:
  第1步 在Excel单元格中输入自变量
  在A列中,在单元格A2中输入0,在单元格A3中输入0.1,递增0.1,选中单元格A2与A3,按住右下角的填充控制点一直拖到单元格A46是4.4为止,A列的这些数据就作为随机变量t的取值。
  第2步 在单元格B2中输入计算t分布的概率密度函数的公式
  对于公式(1),由于自由度μ=20 ,ν=20则由DF1=20,DF2=20代入;自变量X就是单元格A2的值,所以按Excel相对引用的规则,X由A2代入即可,于是单元格B2内容是
=EXP(GAMMALN((20+20)/2))/(EXP(GAMMALN(20/2))*EXP(GAMMALN(20/2)))*(20/20)^(20/2)*A2^(20/2-1)*(1+20/20*A2)^(-1/2*(20+20))
  第3步 复制公式
  按住单元格B2右下角的填充控制点,向下一直拖曳到B46,将B2的公式填充复制到B列的相应的单元格。
  第4步 作F分布概率密度函数图表
  选择A1:B46,选“插入”-“图表”-“散点图”-“带平滑线的散点图”,输入标题,调整字号、线型等格式,完成t分布概率密度函数图,如图-1所示:

图-1

  如将上图的图表类型换成二维面积图,则如图-2-1(2003版)和图-2-2(2010版)所示:

图-2-1
图-2-2

  如将上图的图表类型换成三维面积图,则如图-3-1(2003版)和图-3-2(2010版)所示:

图-3-1
图-3-2

  为 了方便调整不同的自由度参数值观察图形变化,在Excel数据表中可在第一行的某几个单元格如I1、I2;J1、J2;K1、K2;L1、L2;M1、 M2输入不同参数,然后在公式引用这几个参数时使用不同的方式:列数据为相对引用,而行数据为绝对引用,如I$1、I$2;J$1、J$2;K$1、 K$2;L$1、L$2;M$1、M$2。而A列自变量值则使用:列数据为绝对引用,而行数据为相对引用,如$A4、$A5、$A6等。  
  例:B4单元格的公式则为:
=EXP(GAMMALN((I$1+I$2)/2))*(I$1^(I$1/2))*(I$2^(I$2/2))*($A4^(I$1/2-1))/EXP(GAMMALN(I$1/2))/EXP(GAMMALN(I$2/2))/((I$2+I$1*$A4)^((I$1+I$2)/2))
  这样引用的公式可以直接拖曳复制B4:F48。
  数据表输入截图如图-4:

    
  在公式输入后,选择单元格区间A3:F48,在同一图表作出五种不同自由度的平滑曲线的散点图,如图-5所示: 

图-5

  【附录:关于GAMMALN()函数和EXP()函数】
  函数 GAMMALN 的计算公式如下: 
 

 
  伽马函数Γ(x)是个定积分,无法直接计算,可由GAMMALN()函数和EXP()函数,并利用对数恒等式:
 

 
  间接求得,下面对以上内容使用Excel中的相关文字加以说明。
 GAMMALN函数的作用: 返回伽玛函数Γ(x)的自然对数。 
   语法: 
  GAMMALN(x)
   X为需要计算函数 GAMMALN 的数值。
   GAMMALN(x)=LN(Γ(x))
  说明: 
  如果 x 为非数值型,函数 GAMMALN 返回错误值 #VALUE!。 
  如果 x ≤ 0,函数 GAMMAIN 返回错误值 #NUM!。 
  数字 e 的 GAMMALN(i) 次幂等于 (i-1)!,其中 i 为整数,常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。 
  GAMMALN(8)=8.525161
  EXP(GAMMALN(8))=5040=(8-1)!=FACT(7)
  FACT(N)为返回N-1的阶乘(N-1)!=1×2×3×4×…×(N-2)×(N-1)的函数(其中N为自然数)
  关于EXP()函数:
  EXP()返回 e 的 n 次幂。常数 e 等于 2.71828182845904,是自然对数的底数。
  语法
  EXP(number)
  Number 为底数 e 的指数。
  说明
  若要计算以其他常数为底的幂,请使用指数操作符 (^)。 
  EXP 函数是计算自然对数的 LN 函数的反函数。 
  EXP(1)=2.718282(e的近似值)
  EXP(2)=7.389056
  EXP(1)=20.08554
  EXP(LN(3))=3
  于是为求伽马函数Γ(x)首先要回忆一个最基本的恒等式:


  即可得:


  把该恒等式用于伽马函数的取得,可以由以下两步进行:
  先用GAMMALN(x),取得自然对数;
  再用EXP(GAMMALN(x)),取得伽马函数的值。

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