如上篇kd树blog所述相关系数 ( Correlation coefficient )的定义是:
(其中,E为数学期望或均值,D为方差,D开根号为标准差,E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y) = E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]},而两个变量之间的协方差和标准差的商则称为随机变量X与Y的相关系数,记为)
相关系数衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。
具体的,如果有两个变量:X、Y,最终计算出的相关系数的含义可以有如下理解:
协方差矩阵
由上,我们已经知道:协方差是衡量两个随机变量的相关程度。且随机变量 之间的协方差可以表示为
故根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下:
可以进一步地简化为:
如此,便引出了所谓的协方差矩阵:
主成成分分析
尽管从上面看来,协方差矩阵貌似很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis,简称PCA),在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。
根据wikipedia上的介绍,主成分分析PCA由卡尔·皮尔逊于1901年发明,用于分析数据及建立数理模型。其方法主要是通过对协方差矩阵进行特征分解,以得出数据的主成分(即特征矢量)与它们的权值(即特征值)。PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。其结果可以理解为对原数据中的方差做出解释:哪一个方向上的数据值对方差的影响最大。
然为何要使得变换后的数据有着最大的方差呢?我们知道,方差的大小描述的是一个变量的信息量,我们在讲一个东西的稳定性的时候,往往说要减小方差,如果一个模型的方差很大,那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据(主要是训练数据),方差大才有意义,不然输入的数据都是同一个点,那方差就为0了,这样输入的多个数据就等同于一个数据了。
简而言之,主成分分析PCA,留下主成分,剔除噪音,是一种降维方法,限高斯分布,n维眏射到k维,再换言之,PCA提供了一种降低数据维度的有效办法;如果分析者在原数据中除掉最小的特征值所对应的成分,那么所得的低维度数据必定是最优化的(也即,这样降低维度必定是失去讯息最少的方法)。主成分分析在分析复杂数据时尤为有用,比如人脸识别。
此外,据wikipedia上的介绍,包括上面介绍的棣莫弗-拉普拉斯定理在内,历史上前后发展了三个相关的中心极限定理,它们得出的结论及内容分别是:
其内容为:若是n次伯努利实验中事件A出现的次数,,则对任意有限区间:
(i)当及时,一致地有
(ii)当时,一致地有,,其中。
其内容为:设随机变量独立同分布, 且具有有限的数学期望和方差,。记,,则,其中是标准正态分布的分布函数。
其内容为:记随机变量序列(独立但不一定同分布,且有有限方差)部分和为
记
,
如果对每个,序列满足
则称它满足林德伯格(Lindeberg)条件。
满足此条件的序列趋向于正态分布,即
与之相关的是李雅普诺夫(Lyapunov)条件:
满足李雅普诺夫条件的序列必满足林德伯格条件。
它表明,满足一定条件时,独立,但不同分布的随机变量序列的标准化和依然以标准正态分布为极限。
如上所述,中心极限定理的历史可大致概括为:
如今,中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理。本文来自:https://www.cda.cn/
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