在机器学习中,有成千上万甚至几十万的维度的数据需要处理,这种情况下机器学习的资源消耗是不可接受的,并且很大程度上影响着算法的复杂度,因此对数据降维是必要的。PCA(Principal Component Analysis)是一种常用的数据分析方法,也是最基础的无监督降维算法。通常用于高维数据集的探索与可视化,还可以用于数据压缩,数据预处理等。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关表示,可用于提取数据的主要特征分量及高维数据的降维,而转换后的这组变量便是我们所说的主成分。
均值和零均值化
均值
零均值化
然后将每个维度的数据进行零均值化,所谓零均值化就是让均值为0.即每个数据都减去均值。
进行去均值的原因是如果不去均值的话会容易拟合。在神经网络中,如果特征值x比较大的时候,会导致W*x+b的结果也会很大,这样进行激活函数(如relu)输出时,会导致对应位置数值变化量相对来说太小,进行反向传播时因为要使用这里的梯度进行计算,所以会导致梯度消散问题,导致参数改变量很小,也就会易于拟合,效果不好。
定义
若A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量X满足AX=λX,那么数λ称为A的特征值,X称为A的对应于特征值λ的特征向量
在PCA降维过程中,本质就是把原有数据投影到新的一个空间,我们也就可以看做是在原有数据基础上求解特征向量和特征值
性质
2.对于同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合仍是该特征值对应的特征向量
3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言,一个特征值具有特征向量不唯一,一个特征向量不能对应不同特征值
从特征向量和特征值的性质我们就可以发现正好符合PCA降维过程中取方差较大和线性不相关的前k维数据作为降维后数据的目的
方差
方差是是用来表示数据的离散程度的,方差越大,离散程度越大,也就是数据波动就越大。
方差的计算:前面已经说了,需要先对每个维度的数据做零均值化,那么方差就是去均值后的平方和的均值
PCA中方差的意义:PCA的本质就是找一些投影方向,使得数据在这些投影方向上的方差最大,而且这些投影方向是相互正交的(即:相关性几乎为0)。这其实就是找新的正交基的过程,计算原始数据在这些正交基上投影的方差,方差越大,就说明在对应正交基上包含了更多的信息量,对数据特征影响更大,我们暂且把这些信息量可以记为特征值。原始数据协方差矩阵的特征值越大,对应的方差越大,在对应的特征向量上投影的信息量就越大。反之,如果特征值较小,则说明数据在这些特征向量上投影的信息量很小,可以将小特征值对应方向的数据删除,从而达到了降维的目的。
协方差
协方差可以计算不同变量之间的相关性:
如果cov(x,y)=-1.变量之间完全负相关
如果cov(x,y)=1.变量之间完全正相关
如果cov(x,y)=0.变量之间完全不相关
而当x和y相等时,协方差的值就等于方差,所以也可以看作方差是协方差的一种特殊情况
在PCA的过程中我们是对原始数据做过零均值化处理的,故,协方差可以变为:
那么每个维度之间的相关性计算方式为:
协方差矩阵
协方差只能表示两个维度变量之间的相互关系,如果有多个维度随机变量,就需要使用协方差矩阵,我们假设现在又三个维度随机变量x,y,z,那么对应的协方差矩阵则为:
矩阵对角化定义
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值
如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P-1AP 是对角矩阵,则矩阵A就被称为可对角化矩阵
如果一个矩阵与一个对角矩阵相似,我们就称这个矩阵可经相似变换对角化,简称可对角化;与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换
协方差矩阵对角化
上文我们已经说明了协方差矩阵是一个实对称矩阵,由实对称矩阵和相似矩阵性质我们可以得出协方差矩阵C具有的性质:
和C相似的对角矩阵,其对角元素为各特征向量对应的特征值(可能有重复)即:C的特征值就是相似对角矩阵的对角元素
我们假设C的相似对角矩阵为A,那么如果存在一个矩阵P使得P-1CP=A,根据对角矩阵的特点,我们就可以发现矩阵P的每一行就是我们所要找的协方差矩阵的特征向量,而特征值就是对角矩阵的对角元素,现在我们离整个PCA过程还有一步,先把每一个特征向量变成单位向量,然后再按照特征值的大小进行排序,取前K行特征值对应的单位向量组成的矩阵和标准化后数据相乘,就得到了我们需要的降维后的数据矩阵。
数据分析咨询请扫描二维码
CDA数据分析师在中国航信高科技产业园进行了面向测试度量的数据分析培训课程,培训人数近2 ...
2024-05-01CDA数据分析师走进深圳迈瑞生物医疗电子股份有限公司,在迈瑞总部展开了为期两天的培训,本次课程参训人员线上及线下近百人, ...
2024-05-01CDA数据分析师在合肥市对合肥阳光新能源科技有限公司开展了为期8天的企业内训。 合肥阳光新能源科技 ...
2024-05-01CDA数据分析师走进海尔大学,进行了《数据治理与数据中台建设的道与术》专题培训,培训现场爆满,近百人参加了此次培训。 ...
2024-05-01在中国银行苏州分行培训中心开始数据分析师培训,此次培训课程共10天内容,包括Excel、MySQL、概率论与数理统计、SPSS等内容, ...
2024-05-01从实际的业务需求出发,结合行业的典型应用特点,围绕实际的商业问题,探讨数据挖掘、机器学习模型在金融领域的应用,包括获客、信用评分、细分画像、交叉销售、反欺诈、违规识别、时序预测、运筹优化、流程挖掘九个方面,形成 ...
2024-05-01本次培训课程为线上+线下的模式,由于学员编程能力不一、部分学员没有编程基础,故提供统计学、python基 ...
2024-05-01华夏银行信用卡中心-机器学习培训 1、课程亮点 取材于业界一流企业和顶级咨询公司的行业实践;已经被证明是人人 ...
2024-05-01主 题:数据中台建设及数据分析应用主题分享 1. 数据中台市场洞察 2. 主流数据中台产品比较 3. 某企业数据中 ...
2024-05-01围绕“数据驱动”战略,全力打造我行 300 人数字化人才梯队,着力培养数字化管理人才、大数据专业团队 ...
2024-05-01在当今数据驱动的商业环境中,数据分析成为了企业决策的重要依据。通过对大量数据的收集、处理和分析,企业能够更好地理解市场 ...
2024-04-29在人工智能(AI)的世界里,提示词(Prompt)是一种强大的工具,它能够引导AI按照用户的需求产生特定的输出。本文将深入探讨AI ...
2024-04-29CDA立足未来职场,拓展前沿视野——对外经贸大学保险学院举办“三全育人大讲堂”分享行业最新动态。 ...
2024-04-294月2日,CDA数据分析师创始发起人兼协会理事长赵坚毅博士受邀在浙江万里学院举办了一场以“数字化能力在职场中的作用” ...
2024-04-29随机森林(Random Forests)现在机器学习中比较火的一个算法,是一种基于Bagging的集成学习方法,能够很好地处理分类和回归的问 ...
2022-12-23方差分析是数据分析中常用的一种统计分析方法,接下来让我们简单了解一下方差分析的基本思想和原理吧。 方差分析(Analysis ...
2022-12-23来源:关于数据分析与可视化 关于streamlit-aggrid 数据排序 表格样式的调整 数据 ...
2022-08-03作者:麦叔 定义 「把上面晦涩的概念汇成一句话就是:」 ❝ 回调函数就是一个被作为参 ...
2022-08-03现今,高学历人群日益增多,物以稀为贵的高学历光环淡去。无论本科生还是研究生,甚至博士生,求职竞争力都大不如前,就业压力越来越大。
2022-06-01某家企业10个人面试,有9个本科生……如何脱颖而出,除得体的举止和良好的沟通力外,证书成重要筹码,这也是很多人考证的关键所在。
2022-04-14